원점 지나는 원

[출제의도] 원의 방정식을 활용한 문제해결하기 $\angle \mathrm{AOB}$$= 90 ^\circ$이므로 선분 $\mathrm{AB}$는 원의 지름 $\mathrm{A} \mathit{\left( t , 0 \right)}$이라 하면 $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , t + 4 \right)}$이고 원의 중심 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{t}{2} , \frac{t + 4}{2} \right)$ 점 $\mathrm{C}$가 직선 $y$$= 3 x$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{t + 4}{2}$$\displaystyle = \frac{3}{2} t$, $t$$= 2$ 원의 중심의 좌표는 $\left( 1 , 3 \right)$이고 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{10}$이므로 $a$$= 1$, $b$$= 3$, $r$$\displaystyle = \sqrt{10}$ 따라서 $a + b + r ^{2}$$= 1 + 3 + 10$$= 14$ 수학교실 다른 풀이

원의 중심 $\mathrm{C} \mathit{\left( a , b \right)}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} , I$라 하면 $\mathrm{H} \mathit{\left( a , 0 \right)}$, $\mathrm{I} \mathit{\left( 0 , b \right)}$ 두 삼각형 $\mathrm{COA} , CBO$는 이등변삼각형이므로 $\mathrm{A} \mathit{\left( 2 a , 0 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , 2 b \right)}$ 조건 (가)에서 $2 b - 2 a$$= 4$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $b$$= 3 a$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a$$= 1$, $b$$= 3$ $r ^{2}$$= a ^{2} + b ^{2}$$= 1 ^{2} + 3 ^{2}$$= 10$ 따라서 $a + b + r ^{2}$$= 1 + 3 + 10$$= 14$