대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원이 도는 거리

문제

그림과 같이 △ABC\mathrm{\triangle} ABC와 △CDE\mathrm{\triangle} CDE는 한 변의 길이가 aa인 정삼각형이고, ∠ACE=23π\displaystyle \mathrm{\angle} ACE = \frac{2}{3} \pi이다. 반지름의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}인 원 P\mathrm{P}가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC와 △CDE\mathrm{\triangle} CDE의 둘레를 외접하면서 시계 방향으로 한 바퀴 돌아 처음 출발한 자리로 왔을 때, 원 P\mathrm{P}의 중심이 움직인 거리가 23+833π\displaystyle 23 + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \pi이다. aa의 값은? [4점]

3\displaystyle \sqrt{3} 23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi

①44②92\displaystyle \frac{9}{2}③55④112\displaystyle \frac{11}{2}⑤66

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②

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해설

[출제의도] 삼각비를 활용하여 도형의 길이 구하기

∠FCG=π3\displaystyle \mathrm{\angle} FCG = \frac{\pi}{3}이므로, CG‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} = 1이다. 그림과 같이 원 P\mathrm{P}의 중심이 움직인 거리는 2a+4(a−1)+4(3×23π)=23+833π\displaystyle 2 a + 4 ( a - 1 ) + 4 \left( \sqrt{3} \times \frac{2}{3} \pi \right) = 23 + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \pi ∴a=92\displaystyle \therefore a = \frac{9}{2}

태그

#호의 길이#라디안

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