대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원형 수 지우기

문제

그림과 같이 11부터 1010까지의 자연수가 시계방향으로 둥글게 놓여있다. 맨 처음 11을 지우고 22를 건너뛰어 33을 지운다. 다시 44를 건너뛰어 55를 지운다. 이와 같이 한 개의 수를 지우고 난 다음 아직 지워지지 않고 남아있는 수 중에서 한 개의 수를 건너뛰어 그 다음에 남아있는 수를 지우는 시행을 반복하면 11, 33, 55, 77, 99, 22, 66, 1010, 88이 차례로 지워지고 마지막에 44가 남는다. 11부터 nn까지의 자연수를 시계방향으로 둥글게 놓고 이와 같은 시행을 반복할 때, kk번째(1≤k<n)\left( 1 \leq k < n \right)에 지워지는 수를 nAk{}_{n} A _{k}로 나타내자. 예를 들면 10A6=2{}_{10} A _{6} = 2이다. 이때, ＜보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. nn이 홀수일 때, nAk=n{}_{n} A _{k} = n이면 k=n+12\displaystyle k = \frac{n + 1}{2}이다. ㄴ. nn이 짝수일 때, nAk=n{}_{n} A _{k} = n이면 k=n2+1\displaystyle k = \frac{n}{2} + 1이다. ㄷ. n=26n = 2 ^{6}일 때, 시행 후 마지막에 남는 수는 262 ^{6}이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄱ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 주어진 정의를 이해하여 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 홀수 nn은 n+12\displaystyle \frac{n + 1}{2}번째에 지워지므로 nAk=n{}_{n} A _{k} = n이면 k=n+12\displaystyle k = \frac{n + 1}{2}이다. (참) ㄴ. (반례) nn=6= 6이면 6A5=6{}_{6} A _{5} = 6이므로 k≠n2+1\displaystyle k \neq \frac{n}{2} + 1이다. (거짓) ㄷ. 자연수 nn이 맨 마지막까지 남아있기 위해서는 한 바퀴째에는 1,3,5,⋯1 , 3 , 5 , \cdots 이 지워지므로 nn은 짝수이어야 한다. 두 바퀴째에는 2,6,10,⋯2 , 6 , 10 , \cdots이 지워지므로 nn은 44의 배수이어야 한다. 세 바퀴째에는 4,12,20,⋯4 , 12 , 20 , \cdots이 지워지므로 nn은 88의 배수이어야 한다. ⋯\cdots 따라서 n=2mn = 2 ^{m}(mm은 자연수)꼴이어야 한다. (참)

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