원과 영역 넓이 급수

$n$번째 사분원의 방정식은, $( x - a _{n} ) ^{2} + ( y - b _{n} ) ^{2} = a _{n} ^{2}$이다.

$y$축의 오른쪽 영역에서의 $n$번째 도형의 넓이는 사분원에서 직각삼각형의 넓이를 빼면 되므로, 먼저, 삼각형$P _{n} Q _{n} Q _{n - 1 {}}$의 넓이를 구하면, $\displaystyle = {\frac{1}{2}} \overline{P _{n} Q _{n}} \times \overline{P _{n} Q _{n - 1}}$ $\displaystyle = {\frac{1}{2}} ( a _{n} - a _{n + 1} ) ( b _{n} - b _{n - 1} )$ $\displaystyle = {\frac{1}{2}} ( ( {\frac{1}{2}} ) ^{n - 1} - ( {\frac{1}{2}} ) ^{n} ) ( {\frac{1}{2}} ) ^{n - 1}$ $\displaystyle = {\frac{1}{4}} ( {\frac{1}{4}} ) ^{n - 1}$ ∵ $\displaystyle a _{n} = ( {\frac{1}{2}} ) ^{n - 1}$, $\displaystyle b _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( {\frac{1}{2}} ) ^{k - 1}$ 그러므로, 구하고자 하는 $n$번째 넓이는 사분원에서 삼각형$P _{n} Q _{n} Q _{n - 1 {}}$의 넓이를 빼서 구하면, $\displaystyle {\frac{1}{4}} \pi ( {\frac{1}{4}} ) ^{n - 1} - {\frac{1}{4}} ( {\frac{1}{4}} ) ^{n - 1}$가 된다. 무한등비급수를 적용하면, $\displaystyle \frac{{\frac{1}{4}} \pi}{1 - {\frac{1}{4}}} - \frac{{\frac{1}{4}}}{1 - {\frac{1}{4}}} = \frac{\pi - 1}{3}$ 그러므로, 구하는 정답은 $\displaystyle \frac{2 ( \pi - 1 )}{3}$