공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 수직인 직선

문제

그림과 같이 원 x2+y2=100x ^{2} + y ^{2} = 100 위에 xx좌표가 각각 33, 77인 두 점 A1\mathrm{A} _{\mathit{1}}, A2\mathrm{A} _{\mathit{2}}가 있다. 점 B(−10,0)\mathrm{B} \left( \mathit{-} 10 , 0 \right)을 지나고 두 직선 A1B\mathrm{A} _{\mathit{1}} \mathrm{B}, A2B\mathrm{A} _{\mathit{2}} \mathrm{B}에 각각 수직인 두 직선이 원과 만나는 점 중 점 B\mathrm{B}가 아닌 두 점을 각각 C1\mathrm{C} _{\mathit{1}}, C2\mathrm{C} _{\mathit{2}}라 하자. 점 C1\mathrm{C} _{\mathit{1}}의 yy좌표를 aa, 점 C2\mathrm{C} _{\mathit{2}}의 xx좌표를 bb라 할 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, 두 점 A1\mathrm{A} _{\mathit{1}}, A2\mathrm{A} _{\mathit{2}}는 제11사분면 위에 있다.) [4점]

A1\mathrm{A} _{\mathit{1}} A2\mathrm{A} _{\mathit{2}} C2\mathrm{C} _{\mathit{2}} C1\mathrm{C} _{\mathit{1}}

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140

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해설

[출제의도] 점의 대칭이동을 활용하여 문제 해결하기

A1{\mathrm{A}} _{\mathit{1}} A2{\mathrm{A}} _{\mathit{2}} C1{\mathrm{C}} _{\mathit{1}} C2{\mathrm{C}} _{\mathit{2}}

∠A1BC1=90∘\mathrm{\angle} A _{\mathit{1}} \mathrm{BC} _{\mathit{1}} = 90 ^{\circ}, ∠A2BC2=90∘\mathrm{\angle} A _{\mathit{2}} \mathrm{BC} _{\mathit{2}} = 90 ^{\circ} 두 선분 A1C1\mathrm{A} _{\mathit{1}} \mathrm{C} _{\mathit{1}}, A2C2\mathrm{A} _{\mathit{2}} \mathrm{C} _{\mathit{2}}는 원의 지름이고 OA1‾=OC1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{1}}}} = {\overline{\mathrm{OC} _{\mathit{1}}}}, OA2‾=OC2‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{2}}}} = {\overline{\mathrm{OC} _{\mathit{2}}}}이므로 두 점 A1\mathrm{A} _{\mathit{1}}, A2\mathrm{A} _{2}를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 각각 C1\mathrm{C} _{\mathit{1}}, C2\mathrm{C} _{2}이다. 점 A1\mathrm{A} _{1}의 좌표는 (3,91)\displaystyle \left( 3 , \sqrt{91} \right) 점 A2\mathrm{A} _{2}의 좌표는 (7,51)\displaystyle \left( 7 , \sqrt{51} \right)이므로 점 C1\mathrm{C} _{1}의 좌표는 (−3,−91)\displaystyle \left( - 3 , - \sqrt{91} \right) 점 C2\mathrm{C} _{2}의 좌표는 (−7,−51)\displaystyle \left( - 7 , - \sqrt{51} \right) a=−91\displaystyle a = - \sqrt{91}, b=−7b = - 7 따라서 a2+b2a ^{2} + b ^{2}=(−91)2+(−7)2\displaystyle = \left( - \sqrt{91} \right) ^{2} + \left( - 7 \right) ^{2}=140= 140

태그

#원#수직#원주각

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