원과 선분의 교점 조건

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제해결하기 $\angle {\mathrm{APB}} \mathit{=} 90 ^\circ$인 점 ${\mathrm{P}}$는 두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{(} 1 , 4 )$, ${\mathrm{B}} \mathit{(} 5 , 4 )$를 지름의 양 끝점으로 하는 원 $C$ 위의 점이다. 점 ${\mathrm{P}}$는 중심의 좌표가 $( 3 , 4 )$, 반지름의 길이가 $\mathrm{2}$인 원 $C$ 위의 점이면서 선분 ${\mathrm{CD}}$ 위의 점이므로 직선 $\displaystyle l : y = - \frac{1}{2} x + t$와 원 $C$가 서로 만날 때 선분 ${\mathrm{CD}}$ 위에 $\angle {\mathrm{APB}} \mathit{=} 90 ^\circ$인 점 ${\mathrm{P}}$가 존재한다. 점 $( 3 , 4 )$와 직선 $l : x + 2 y - 2 t = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 3 + 2 \times 4 - 2 t \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \frac{\left| 11 - 2 t \right|}{\sqrt{5}}$ 이므로 직선 $l$과 원 $C$가 서로 만나려면 $\displaystyle \frac{\left| 2 t - 11 \right|}{\sqrt{5}} \leq 2$, $\displaystyle \left| 2 t - 11 \right| \leq 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle - 2 \sqrt{5} \leq 2 t - 11 \leq 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \frac{11 - 2 \sqrt{5}}{2} \leq t \leq \frac{11 + 2 \sqrt{5}}{2}$ 따라서 $\displaystyle M = \frac{11 + 2 \sqrt{5}}{2}$, $\displaystyle m = \frac{11 - 2 \sqrt{5}}{2}$이므로 $\displaystyle M - m = 2 \sqrt{5}$