미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 선분 길이 극한

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이(0,2)\mathrm{(} 0 , 2 )이고 반지름의 길이가 22인 원이 있다. 양수 tt에 대하여 점 P(t,0)\mathrm{P} ( \mathit{t} , 0 )과 원의 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점 중에서 점 P\mathrm{P}에 가까운 점을 Q\mathrm{Q}, 나머지 한 점을 R\mathrm{R}라 하자. lim⁡t→0+PQ‾×PR‾OP‾2−PQ‾2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\mathrm{\overline{PQ}} \times {\overline{PR}}}{\mathrm{\overline{OP}} ^{2} - {\overline{PQ}} ^{2}}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극한 문제 해결하기 OP‾=t\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \mathit{=} t, PQ‾=t2+4−2\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \mathit{=} \sqrt{t ^{2} + 4} - 2, PR‾=t2+4+2\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} \mathit{=} \sqrt{t ^{2} + 4} + 2이므로 lim⁡t→0+PQ‾×PR‾OP‾2−PQ‾2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\mathrm{\overline{PQ}} \times {\overline{PR}}}{\mathrm{\overline{OP}} ^{2} - {\overline{PQ}} ^{2}}} =lim⁡t→0+(t2+4−2)(t2+4+2)t2−(t2+4−2)2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\left( \sqrt{t ^{2} + 4} - 2 \right) \left( \sqrt{t ^{2} + 4} + 2 \right)}{t ^{2} - \left( \sqrt{t ^{2} + 4} - 2 \right) ^{2}}}=lim⁡t→0+(t2+4−2)(t2+4+2)4(t2+4−2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\left( \sqrt{t ^{2} + 4} - 2 \right) \left( \sqrt{t ^{2} + 4} + 2 \right)}{4 \left( \sqrt{t ^{2} + 4} - 2 \right)}} =lim⁡t→0+t2+4+24\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\sqrt{t ^{2} + 4} + 2}{4}}=1= 1이다.

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#함수의 극한#원#유리화

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