대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 삼각형 넓이의 역수 합

문제

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 중심이 직선 y=nn+1x\displaystyle y = \frac{n}{n + 1} x 위에 있는 원이 원점을 지난다. 이 원이 xx축과 만나는 점 중에서 xx좌표가 양수인 점을 A\mathrm{A}, yy축과 만나는 점 중에서 yy좌표가 양수인 점을 B\mathrm{B}라 하자. OB‾=2n\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = 2 n이고 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1101Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{S _{n}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

y=nn+1x\displaystyle y = \frac{n}{n + 1} x

①511\displaystyle \frac{5}{11}②611\displaystyle \frac{6}{11}③711\displaystyle \frac{7}{11}④811\displaystyle \frac{8}{11}⑤911\displaystyle \frac{9}{11}

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①

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제 해결하기

y=nn+1x\displaystyle y = \frac{n}{n + 1} x

∠BOA=π2\displaystyle \angle \mathrm{BOA} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이므로 선분 AB\mathrm{AB}는 원의 지름이다. 원의 중심을 C\mathrm{C}라 하면, 점 C\mathrm{C}는 선분 AB\mathrm{AB}의 중점이고, OB‾=2n\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = 2 n이므로 점 C\mathrm{C}의 yy좌표는 nn이다. 점 C\mathrm{C}는 직선 y=nn+1x\displaystyle y = \frac{n}{n + 1} x 위의 점이므로 점 C\mathrm{C}의 좌표는 (n+1,n)\left( n + 1 , n \right)이다. Sn=12×2n×2(n+1)=2n(n+1)\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times 2 n {\times} 2 \left( n + 1 \right) = 2 n \left( n + 1 \right) ∑n=1101Sn=∑n=11012n(n+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{2 n \left( n + 1 \right)} =12∑n=110(1n−1n+1)\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) =12{(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) \right\} =12(1−111)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{11} \right)=511\displaystyle = \frac{5}{11}

태그

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