미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 자연수 n(n≥2)n \left( n \geq 2 \right)에 대하여 중심이 C{\mathrm{C}}이고 반지름의 길이가 nn인 원 OO와 AB‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2를 만족시키는 원 OO 위의 두 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}가 있다. ∠BAC\angle {\mathrm{BAC}}를 이등분하는 직선이 원 OO와 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 D{\mathrm{D}}라 하자. 점 B{\mathrm{B}}를 포함하지 않는 호 AD{\mathrm{AD}} 위의 점 E{\mathrm{E}}에 대하여 BD‾:DE‾=2:1\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{DE}}} = \sqrt{2} : 1일 때, 삼각형 CDE{\mathrm{CDE}}의 넓이를 SnS _{n}이라 하면 lim⁡n→∞(34n−Snn)=qp3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} n - \frac{S _{n}}{n} \right) = \frac{q}{p} \sqrt{3}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

점 C{\mathrm{C}}에서 선분 AB′{\mathrm{AB}} \mathit{'}에 내린 수선의 발을 H1{\mathrm{H}} \mathit{_{1}}이라 할 때, 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}는 이등변삼각형이므로 AB‾=2AH1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 {\overline{{\mathrm{AH}} \mathit{_{1}}}}이고 ∠CH1A=π2\displaystyle \angle {\mathrm{CH}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}} \frac{= \mathit{\pi}}{2}이므로 cos⁡∠BAC=AH1‾CA‾=1n\displaystyle \cos \angle {\mathrm{BAC}} \frac{= \mathit{{\overline{{\mathrm{AH}} \mathit{_{1}}}}}}{{\overline{\mathrm{CA}}}} = \frac{1}{n} 각 BAD{\mathrm{BAD}}는 호 BD{\mathrm{BD}}의 원주각이고 각 BCD{\mathrm{BCD}}는 부채꼴 CBD{\mathrm{CBD}}의 중심각이므로 ∠BCD=2∠BAD=∠BAC\angle {\mathrm{BCD}} = \mathit{2} \angle {\mathrm{BAD}} = \mathit{\angle} {\mathrm{BAC}} 삼각형 BCD{\mathrm{BCD}}에서 코사인법칙에 의해 BD‾2=CB‾2+CD‾2−2×CB‾×CD‾×cos⁡∠BCD=2n2−2n\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} \mathit{=} {\overline{\mathrm{CB}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} \mathit{-} 2 \times {\overline{\mathrm{CB}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times \cos \angle {\mathrm{BCD}} = \mathit{2} n ^{2} - 2 n BD‾=2n2−2n\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \sqrt{2 n ^{2} - 2 n} BD‾:DE‾=2:1\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} : {\overline{\mathrm{DE}}} = \sqrt{2} : 1이므로 DE‾=BD‾2=n2−n\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{n ^{2} - n} 점 C{\mathrm{C}}에서 선분 DE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}}에 내린 수선의 발을 H2{\mathrm{H}} \mathit{_{2}}라 하면 삼각형 CDE{\mathrm{CDE}}는 이등변삼각형이므로 DE‾=2DH2‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = 2 {\overline{{\mathrm{DH}} \mathit{_{2}}}}이고 ∠CH2D=π2\displaystyle \angle {\mathrm{CH}} \mathit{_{2}} {\mathrm{D}} \frac{= \mathit{\pi}}{2}이다. CH2‾2=CD‾2−DH2‾2=3n2+n4\displaystyle {\overline{{\mathrm{CH}} \mathit{_{2}}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} \mathit{-} {\overline{{\mathrm{DH}} \mathit{_{2}}}} ^{2} = \frac{3 n ^{2} + n}{4}이므로 CH2‾=3n2+n2\displaystyle {\overline{{\mathrm{CH}} \mathit{_{2}}}} = \frac{\sqrt{3 n ^{2} + n}}{2} Sn=12×DE‾×CH2‾=n3n2−2n−14\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DE}}} \times {\overline{{\mathrm{CH}} \mathit{_{2}}}} = \frac{n \sqrt{3 n ^{2} - 2 n - 1}}{4} 34n−Snn\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} n - \frac{S _{n}}{n}=3n−3n2−2n−14\displaystyle = \frac{\sqrt{3} n - \sqrt{3 n ^{2} - 2 n - 1}}{4} =2n+14(3n+3n2−2n−1)\displaystyle = \frac{2 n + 1}{4 \left( \sqrt{3} n + \sqrt{3 n ^{2} - 2 n - 1} \right)} 이므로 lim⁡n→∞(34n−Snn)=143=1123\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} n - \frac{S _{n}}{n} \right) = \frac{1}{4 \sqrt{3}} = \frac{1}{12} \sqrt{3} 따라서 p=12p = 12, q=1q = 1이므로 p+q=13p + q = 13

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