공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 삼각형 넓이 최대

문제

원 C:x2+y2−2x−ay−b=0C : x ^{2} + y ^{2} - 2 x - ay - b = 0 에 대하여 좌표평면에서 원 CC의 중심이 직선 y=2x−1y = 2 x - 1 위에 있다. 원 CC와 직선 y=2x−1y = 2 x - 1이 만나는 서로 다른 두 점을 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. 원 CC 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}의 넓이의 최댓값이 4\mathrm{4}일 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 상수이고, 점 P{\mathrm{P}}는 점 A{\mathrm{A}}도 아니고 점 B{\mathrm{B}}도 아니다.) [4점] ①1\mathrm{1}②2\mathrm{2}③3\mathrm{3}④4\mathrm{4}⑤5\mathrm{5}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 원의 방정식을 활용하여 문제해결하기 x2+y2−2x−ay−b=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x - ay - b = 0에서 (x−1)2+(y−a2)2=a24+b+1\displaystyle \left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - \frac{a}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2}}{4} + b + 1이므로 원 CC의 중심의 좌표는 (1,a2)\displaystyle \left( 1 , \frac{a}{2} \right), 반지름의 길이는 a24+b+1\displaystyle \sqrt{\frac{a ^{2}}{4} + b + 1} 원 CC의 중심이 직선 y=2x−1y = 2 x - 1 위에 있으므로 a2=2×1−1\displaystyle \frac{a}{2} = 2 \times 1 - 1에서 a=2a = 2, 원 CC의 반지름의 길이는 b+2\displaystyle \sqrt{b + 2} 삼각형 ABP\mathrm{ABP}의 밑변을 선분 AB\mathrm{AB}라 하면 선분 AB{\mathrm{AB}}는 원 CC의 지름이므로 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}의 높이의 최댓값은 원 CC의 반지름의 길이와 같다. 그러므로 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}의 넓이의 최댓값은 12×2b+2×b+2=4\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{b + 2} \times \sqrt{b + 2} = 4 b+2=4b + 2 = 4, b=2b = 2 따라서 a+b=4a + b = 4

태그

#원의 방정식#넓이 최대

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 원의 방정식 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로