미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 사분원의 반복 도형 급수

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 O\mathrm{O}가 있다. 원 O\mathrm{O}의 중심을 지나고 선분 AB\mathrm{AB}와 수직인 직선이 원과 만나는 22개의 점 중 한 점을 C\mathrm{C}라 하자. 점 C\mathrm{C}를 중심으로 하고 점 A\mathrm{A}와 점 B\mathrm{B}를 지나는 원의 외부와 원 O\mathrm{O}의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1\mathrm{R} _{1}에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 O\mathrm{O}의 반원을 이등분한 22개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 22개의 원 안에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 22개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에서 새로 생긴 22개의 도형에 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 44개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 44개의 원 안에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 44개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①5+227\displaystyle \frac{5 + 2 \sqrt{2}}{7}②5+327\displaystyle \frac{5 + 3 \sqrt{2}}{7}③5+427\displaystyle \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{7}④5+527\displaystyle \frac{5 + 5 \sqrt{2}}{7}⑤5+627\displaystyle \frac{5 + 6 \sqrt{2}}{7}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

RnR _{n}에서 새로 만들어지는 모든 모양의 넓이의 합을 ana _{n}이라 하면 Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} a1a _{1}은 반원의 넓이에서 활꼴의 넓이를 빼면 되므로 a1=12⋅12⋅π−{14(2)2π−12⋅(2)2}=1\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} \cdot \pi - \left\{ \frac{1}{4} ( \sqrt{2} ) ^{2} \pi - \frac{1}{2} \cdot ( \sqrt{2} ) ^{2} \right\} = 1 위의 그림과 같이 R2R _{2}에서 새로 생긴 원의 반지름의 길이를 xx라 하면 x+2x=1\displaystyle x + \sqrt{2} x = 1에서 x=12+1=2−1\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 ∴a2=2×(2−1)2=6−42\displaystyle \therefore a _{2} = 2 \times ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2} = 6 - 4 \sqrt{2} 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 11이고, 공비가 6−42\displaystyle 6 - 4 \sqrt{2}인 등비수열이다. ∴lim⁡n→∞Sn=∑n=1∞an=11−(6−42)=142−5\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{1}{1 - ( 6 - 4 \sqrt{2} )} = \frac{1}{4 \sqrt{2} - 5}=5+427\displaystyle = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{7} [다른 풀이]

[그림 1]

[그림 2]

RnR _{n}에서 새로 생긴 작은 원의 반지름을 rnr _{n}이라 하고 새로 생긴 작은 원의 색칠된 부분의 넓이를 ana _{n}이라 하자. a1a _{1}은 반원에서 [그림 1]의 색칠된 부분의 넓이를 빼면 되므로 a1=12π⋅12−(14π(2)2−12⋅2⋅1)=1\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} \pi \cdot 1 ^{2} - \left( \frac{1}{4} \pi ( \sqrt{2} ) ^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \right) = 1 [그림 2]에서 2rn+1+rn+1=rn\displaystyle \sqrt{2} r _{n + 1} + r _{n + 1} = r _{n} rn+1rn=12+1=2−1\displaystyle \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 ∴(rn+1rn)2=(2−1)2\displaystyle \therefore \left( \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} \right) ^{2} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} 새로 생기는 작운 원들은 직전 원의 개수의 22배씩 생기므로 (공비)=an+1an=2⋅(rn+1rn)2=2(2−1)2\displaystyle = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 2 \cdot \left( \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} \right) ^{2} = 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} ∴a1r−1=11−2(2−1)2=42+57\displaystyle \therefore \frac{a _{1}}{r - 1} = \frac{1}{1 - 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}} = \frac{4 \sqrt{2} + 5}{7}

태그

#등비급수#도형의 닮음

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로