원과 사분원의 반복 도형 급수

$R _{n}$에서 새로 만들어지는 모든 모양의 넓이의 합을$a _{n}$이라 하면 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}$ $a _{1}$은 반원의 넓이에서 활꼴의 넓이를 빼면 되므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} \cdot \pi - \left\{ \frac{1}{4} ( \sqrt{2} ) ^{2} \pi - \frac{1}{2} \cdot ( \sqrt{2} ) ^{2} \right\} = 1$ 위의 그림과 같이 $R _{2}$에서 새로 생긴 원의 반지름의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle x + \sqrt{2} x = 1$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ $\displaystyle \therefore a _{2} = 2 \times ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2} = 6 - 4 \sqrt{2}$ 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$이고, 공비가 $\displaystyle 6 - 4 \sqrt{2}$인 등비수열이다. $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{1}{1 - ( 6 - 4 \sqrt{2} )} = \frac{1}{4 \sqrt{2} - 5}$$\displaystyle = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{7}$ [다른 풀이]

[그림 1]

[그림 2]

$R _{n}$에서 새로 생긴 작은 원의 반지름을 $r _{n}$이라 하고 새로 생긴 작은 원의 색칠된 부분의 넓이를 $a _{n}$이라 하자. $a _{1}$은 반원에서 [그림 1]의 색칠된 부분의 넓이를 빼면 되므로 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} \pi \cdot 1 ^{2} - \left( \frac{1}{4} \pi ( \sqrt{2} ) ^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \right) = 1$ [그림 2]에서 $\displaystyle \sqrt{2} r _{n + 1} + r _{n + 1} = r _{n}$ $\displaystyle \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ $\displaystyle \therefore \left( \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} \right) ^{2} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}$ 새로 생기는 작운 원들은 직전 원의 개수의 $2$배씩 생기므로 (공비)$\displaystyle = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = 2 \cdot \left( \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} \right) ^{2} = 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle \therefore \frac{a _{1}}{r - 1} = \frac{1}{1 - 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}} = \frac{4 \sqrt{2} + 5}{7}$