원과 직선의 현 길이

원 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = r ^{2}$의 중심을 ${\mathrm{C}}$라 하자. 원의 중심 ${\mathrm{C}}$에서 선분 ${\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = \overline{{\mathrm{BH}}}$이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = \sqrt{2}$이다. 점 ${\mathrm{C}} \mathit{(} 2 , 3 )$과 직선 $x - y + 5 = 0$ 사이의 거리를 구하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = \frac{\left| 2 - 3 + 5 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ 직각삼각형 ${\mathrm{ACH}}$에서 $r ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2}$ $\displaystyle = ( \sqrt{2} ) ^{2} + ( 2 \sqrt{2} ) ^{2}$ $= 10$ 따라서 $\displaystyle r = \sqrt{10}$