미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선의 교점을 이용한 수열의 극한

문제

좌표평면에서 직선 y=nx(ny = nx ( n은 자연수)와 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 만나는 점을 An,Bn{\mathrm{A}} _{n} , {\mathrm{B}} _{n}이라 하자. 원점 O\mathrm{O}와 An{\mathrm{A}} _{n}의 중점을 Pn{\mathrm{P}} _{n}이라 하고, AnPn‾=BnQn‾\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{P}} _{n}} = \overline{{\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{Q}} _{n}}을 만족시키는 직선 y=nxy = nx 위의 점을 Qn{\mathrm{Q}} _{n}이라 하자. (단, Qn{\mathrm{Q}} _{n}은 원 외부에 있다.) 점 Qn{\mathrm{Q}} _{n}의 좌표를 (an,bn)( a _{n} , b _{n} )이라 할 때, lim⁡n→∞∣nan+bn∣\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left| na _{n} + b _{n} \right|의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

문제에는 AnA _{n}과 BnB _{n}의 위치가 나와 있지 않지만, 편의상 AnA _{n}을 1사분면 BnB _{n}을 22사분면에 잡도록 하자. 문제 조건에 의하여 PnP _{n}과 QnQ _{n}을 찾으면 다음과 같다.

원과 직선 식을 연립하여 BnB _{n}의 좌표를 구하면, Bn(−1n2+1,−nn2+1)\displaystyle B _{n} ( - \frac{1}{\sqrt{n ^{2} + 1}} , - \frac{n}{\sqrt{n ^{2} + 1}} )이며, 이 때 QnQ _{n}은 OBnOB _{n}을 3:13 : 1로 외분하는 점이므로 Qn(−32n2+1,−3n2n2+1)\displaystyle Q _{n} ( - \frac{3}{2 \sqrt{n ^{2} + 1}} , - \frac{3 n}{2 \sqrt{n ^{2} + 1}} )이다. 따라서 lim⁡n→∞∣nan+bn∣=lim⁡n→∞∣−3nn2+1∣=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left| na _{n} + b _{n} \right| = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left| \frac{- 3 n}{\sqrt{n ^{2} + 1}} \right|} = 3이다.

태그

#원의 방정식#외분점#수열의 극한

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