원과 직선의 교점 개수 함수

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용하여 문제해결하기 원 $C$는 중심이 $\left( t , f \left( t \right) \right)$이고 반지름의 길이가 $t$인 원이므로 원 $C$는 중심이 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위에 있고 $y$축에 접한다.

$f ( t )$ $y = f ( x )$

조건 (가)에 의하여 $g \left( 2 \right) = 1$이므로 중심이 $( 2 , f \left( 2 \right) )$이고 반지름의 길이가 $2$인 원이 직선 $y = k$와 한 점에서 만난다. 따라서 $\left| f ( 2 ) - k \right| = \left| 17 - k \right| = 2$ $k = 19$ 또는 $k = 15$

$y = 15$ $y = 19$ $y = f \left( x \right)$ $f \left( 2 \right)$

(ⅰ) $k = 19$일 때 중심이 $\left( 4 , f \left( 4 \right) \right)$인 원의 반지름의 길이는 $4$이고 원의 중심과 직선 $y = 19$ 사이의 거리는 $19 - f \left( 4 \right) = 4$이므로 원과 직선 $y = 19$는 한 점에서 만난다. $\therefore g \left( 4 \right) = 1$ 중심이 $\left( 6 , f \left( 6 \right) \right)$인 원의 반지름의 길이는 $6$이고 원의 중심과 직선 $y = 19$ 사이의 거리는 $19 - f \left( 6 \right) = 10$이므로 원과 직선 $y = 19$는 만나지 않는다. $\therefore g \left( 6 \right) = 0$ $g \left( 4 \right) \times g \left( 6 \right) = 1 \times 0 \ne 2$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $k = 15$일 때 중심이 $\left( 4 , f \left( 4 \right) \right)$인 원의 반지름의 길이는 $4$이고 원의 중심과 직선 $y = 15$ 사이의 거리는 $15 - f \left( 4 \right) = 0$이므로 원과 직선 $y = 15$는 서로 다른 두 점에서 만난다. $\therefore g \left( 4 \right) = 2$ 중심이 $\left( 6 , f \left( 6 \right) \right)$인 원의 반지름의 길이는 $6$이고 원의 중심과 직선 $y = 15$ 사이의 거리는 $15 - f \left( 6 \right) = 6$이므로 원과 직선 $y = 15$는 한 점에서 만난다. $\therefore g \left( 6 \right) = 1$ $g \left( 4 \right) \times g \left( 6 \right) = 2 \times 1 = 2$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. 따라서 $k = 15$ $f \left( x \right) = 15$를 만족하는 $x$의 값은 $0 < x < 6$일 때 $\displaystyle - \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} + 17 = 15$에서 $x = 4$ $x \geq 6$일 때 $\left( x - 8 \right) ^{2} + 5 = 15$에서 $\displaystyle x = 8 + \sqrt{10}$

$\displaystyle 8 + \sqrt{10}$ $y = 15$ $y = f ( x )$

원 $C$의 중심 $\left( t , f \left( t \right) \right)$와 직선 $y = 15$ 사이의 거리를 함수 $h \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle h \left( t \right) = {\begin{cases} f \left( t \right) - 15 _{{} _{}} & \left( 0 < t \leq 4 \right) _{{} _{}} \\ 15 - f \left( t \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( 4 < t \leq 8 + \sqrt{10} \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ f \left( t \right) - 15 ^{{} ^{}} & \left( t > 8 + \sqrt{10} \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} - \frac{1}{2} t ^{2} + 2 t _{{} _{}} & \left( 0 < t \leq 4 \right) _{{} _{}} \\ \frac{1}{2} t ^{2} - 2 t _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( 4 < t \leq 6 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ - t ^{2} + 16 t - 54 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( 6 < t \leq 8 + \sqrt{10} \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ t ^{2} - 16 t + 54 ^{{} ^{}} & \left( t > 8 + \sqrt{10} \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ 함수 $h \left( t \right)$는 원 $C$의 중심 $\left( t , f \left( t \right) \right)$와 직선 $y = 15$ 사이의 거리이고 $t$는 원 $C$의 반지름의 길이이므로 원 $C$가 직선 $y = 15$와 만나는 서로 다른 점의 개수인 함수 $g \left( t \right)$는 다음과 같다. $h \left( t \right) > t$이면 $g \left( t \right) = 0$ $h \left( t \right) = t$이면 $g \left( t \right) = 1$ $h \left( t \right) < t$이면 $g \left( t \right) = 2$ 방정식 $h \left( t \right) = t$를 만족하는 $t$를 구하면 $0 < t \leq 4$에서 $\displaystyle - \frac{1}{2} t ^{2} + 2 t = t$이므로 $t = 2$ $4 < t \leq 6$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} t ^{2} - 2 t = t$이므로 $t = 6$ $\displaystyle 6 < t \leq 8 + \sqrt{10}$에서 $- t ^{2} + 16 t - 54 = t$이므로 $t = 9$ $\displaystyle t > 8 + \sqrt{10}$에서 $t ^{2} - 16 t + 54 = t$이므로 $\displaystyle t = \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$ 함수 $y = h \left( t \right)$의 그래프와 직선 $y = t$는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$ $\displaystyle \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$ $\displaystyle 8 + \sqrt{10}$ $y = h ( t )$

따라서 $0 < t < 2$, $6 < t < 9$, $\displaystyle t > \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$에서 $g \left( t \right) = 0$ $t = 2$, $t = 6$, $t = 9$, $\displaystyle t = \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$에서 $g \left( t \right) = 1$ $2 < t < 6$, $\displaystyle 9 < t < \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$에서 $g \left( t \right) = 2$ (ⅰ) $2 < t < 6$일 때 $\alpha - 2 < t < \alpha$에서 $g \left( t \right) = 2$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 범위는 $4 \leq \alpha \leq 6$ (ⅱ) $\displaystyle 9 < t < \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$일 때 $\displaystyle 8 < \sqrt{73} < 9$ $\displaystyle \frac{25}{2} < \frac{17 + \sqrt{73}}{2} < 13$ $\displaystyle \frac{17 + \sqrt{73}}{2} - 9 > 2$이므로 $\alpha - 2 < t < \alpha$에서 $g \left( t \right) = 2$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 범위는 $\displaystyle 11 \leq \alpha \leq \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 실수 $\alpha$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{17 + \sqrt{73}}{2}$ $m = 17$, $n = 73$ 따라서 $m + n = 90$