원과 직선의 비

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = t$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BH}}} ^{2} = 9 - t ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 원 $C$의 중심 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 3 , 3 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} : {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{3} : 1$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = \sqrt{3} t$ 삼각형 ${\mathrm{AOH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OH}}} ^{2} = 18 - 3 t ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $9 - t ^{2} = 18 - 3 t ^{2}$, $\displaystyle t ^{2} = \frac{9}{2}$ 한편, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}}$는 점 ${\mathrm{A}}$와 직선 $y = mx$ 사이의 거리이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{\left| 3 m - 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ 이 식을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{9 \left( m - 1 \right) ^{2}}{m ^{2} + 1} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$ $2 \left( m - 1 \right) ^{2} = m ^{2} + 1$ $m ^{2} - 4 m + 1 = 0$ $\displaystyle m = 2 + \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle m = 2 - \sqrt{3}$ $0 < m < 1$이므로, 주어진 조건을 만족시키는 상수 $m$의 값은 $\displaystyle 2 - \sqrt{3}$