원과 직선이 만날 조건

중심이 원점이고 직선 $y = - 2 x + k$와 만나는 원의 넓이가 최소가 되려면 원점과 직선 $2 x + y - k = 0$ 사이의 거리가 반지름의 길이와 같아야 한다. 원점과 직선 $2 x + y - k = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 2 \times 0 + 1 \times 0 - k \right|}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{\left| - k \right|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} k$ 원 $C$의 반지름의 길이를 $r$라 하자. 원 $C$의 넓이가 $45 \pi$이므로 $r ^{2} \pi = 45 \pi$에서 $\displaystyle r = 3 \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5} k = 3 \sqrt{5}$이므로 $k = 15$