원과 직선이 접할 조건

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기 $x ^{2} + y ^{2} = 4$와 $\displaystyle y = ax + 2 \sqrt{b}$를 연립하면 $\displaystyle x ^{2} + ( ax + 2 \sqrt{b} ) ^{2} = 4$ $\displaystyle ( 1 + a ^{2} ) x ^{2} + 4 a \sqrt{b} x + 4 b - 4 = 0$ 원과 직선이 접하려면 $\displaystyle \frac{D}{4}$$\displaystyle = ( 2 a \sqrt{b} ) ^{2} - 4 ( 1 + a ^{2} ) ( b - 1 )$$= 4 a ^{2} - 4 b + 4$$= 0$ $\therefore b = a ^{2} + 1$ $10$보다 작은 자연수 $a , b$에 대해 $b = a ^{2} + 1$인 $( a , b )$는 $( 1 , 2 )$와 $( 2 , 5 )$이므로 $b$의 모든 값의 합은 $7$이다. [별해] 원의 중심 $( 0 , 0 )$에서 직선 $\displaystyle ax - y + 2 \sqrt{b} = 0$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 2 \sqrt{b} \right|}{\sqrt{a ^{2} + 1}} = 2$이므로 $b = a ^{2} + 1$