원과 직선과 극한

원점을 지나고 기울기가 $a _{n}$인 직선의 방정식은 $y = a _{n} x$ 모든 자연수 $n$에 대하여 점 $\left( 2 n - 1 , 0 \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $n$인 원을 $C _{n}$이라 하자. 직선 $y = a _{n} x$가 원 $C _{n}$과 서로 다른 두 점에서 만나므로 점 $\left( 2 n - 1 , 0 \right)$과 직선 $y = a _{n} x$ 사이의 거리는 $n$보다 작다. $\displaystyle \frac{a _{n} \left( 2 n - 1 \right)}{\sqrt{a _{n} \mathit{^{2}} + 1}} < n$, $\displaystyle \frac{1}{a _{n} \mathit{^{2}}} > \frac{3 n ^{2} - 4 n + 1}{n ^{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 직선 $y = a _{n} x$가 원 $C _{n + 1}$과 만나지 않으므로 점 $\left( 2 n + 1 , 0 \right)$과 직선 $y = a _{n} x$ 사이의 거리는 $n + 1$보다 크다. $\displaystyle \frac{a _{n} \left( 2 n + 1 \right)}{\sqrt{a _{n} \mathit{^{2}} + 1}} > n + 1$, $\displaystyle \frac{1}{a _{n} \mathit{^{2}}} < \frac{3 n ^{2} + 2 n}{n ^{2} + 2 n + 1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{3 n ^{2} - 4 n + 1}{n ^{2}} < \frac{1}{a _{n} \mathit{^{2}}} < \frac{3 n ^{2} + 2 n}{n ^{2} + 2 n + 1}$ $\displaystyle \frac{4 n + 3}{n ^{2} + 2 n + 1} < 3 - \frac{1}{a _{n} \mathit{^{2}}} < \frac{4 n - 1}{n ^{2}}$ $\displaystyle \frac{4 n ^{2} + 3 n}{n ^{2} + 2 n + 1} < n \left( 3 - \frac{1}{a _{n} \mathit{^{2}}} \right) < \frac{4 n ^{2} - n}{n ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n ^{2} + 3 n}{n ^{2} + 2 n + 1} = 4$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n ^{2} - n}{n ^{2}} = 4$이므로 수열의 극한의 대소관계에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} n \left( 3 - \frac{1}{a _{n} ^{2}} \right) = 4$