원과 직선 위 정삼각형

[출제의도] 좌표평면에서 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 위를 움직이는 점 $\mathrm{A}$와 직선 사이의 거리가 구하고자 하는 정삼각형의 높이이고, 원점과 직선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$이다. 정삼각형의 넓이가 최소일 때의 삼각형은 그림의 삼각형 ${\mathrm{A}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}$이고 높이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$, 최대일 때는 삼각형 ${\mathrm{A}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}} \mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}$이고 높이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$이다. 두 삼각형의 닮음비가 $\displaystyle \sqrt{2} : 3 \sqrt{2} = 1 : 3$이므로 넓이의 비는 $1 ^{2} : 3 ^{2} = 1 : 9$이다.