미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 직선 y=x+1n\displaystyle y = x + \frac{1}{n}과 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 만나는 두 점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하자. 삼각형 OPnQn\mathrm{OP} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}의 넓이를 AnA _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞n⋅An\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \cdot A _{n}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}②32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤3\displaystyle \sqrt{3}

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①

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한값 구하기 원점 O\mathrm{O}에서 직선 y=x+1n\displaystyle y = x + \frac{1}{n}에 내린 수선의 발을 Hn\mathrm{H} _{\mathit{n}}이라 하면 (삼각형 OPnQn\mathrm{O} P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}의 높이)=OHn‾=22n\displaystyle = \overline{\mathrm{OH} \mathit{_{\mathit{n}}}} = \frac{\sqrt{2}}{2 n}, (삼각형 OPnQn\mathrm{O} P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}의 밑변의 길이) =2×PnHn‾=21−OH‾n2\displaystyle = 2 \times \overline{\mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{n}}}} = 2 \sqrt{1 - \mathrm{\overline{OH}} \mathit{\mathrm{_{n}}} ^{2}}=4n2−2n\displaystyle = \frac{\sqrt{4 n ^{2} - 2}}{n} ∴An=2n2−12n2\displaystyle \therefore A _{n} = \frac{\sqrt{2 n ^{2} - 1}}{2 n ^{2}} 따라서 lim⁡n→∞n⋅An=22\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n \cdot A _{n}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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#수열의 극한#원과 직선

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