공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 직선 점 합 영역 넓이

문제

세 집합 AA, BB, CC에 대하여 A={(x,y)∣x2+y2≤1,x,yA = \left\{ ( x , y ) | x ^{2} + y ^{2} \leq 1 , x , y \right.는 실수}\}, B={(x,y)∣y=x+2,x,y\displaystyle B = \left\{ ( x , y ) | y = x + \sqrt{2} , x , y \right.는 실수}\}, C={(x1+x2,y1+y2)∣(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}C = \left\{ ( x _{1} + x _{2} , y _{1} + y _{2} ) | ( x _{1} , y _{1} ) \in A , ( x _{2} , y _{2} ) \in B \right\} 라 할 때, A∩CA \cap C가 나타내는 영역의 넓이는? [4점] ①12π\displaystyle \frac{1}{2} \pi②22π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \pi③32π\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \pi④34π\displaystyle \frac{3}{4} \pi⑤π\pi

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①

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해설

[출제의도] 도형의 평행이동 이해하기 임의의 실수 tt에 대하여 (t,t+2)∈B\displaystyle ( t , t + \sqrt{2} ) \in B라 하면 집합 CC는 x2+y2≤1x ^{2} + y ^{2} \leq 1을 xx축 방향으로 tt, yy축 방향으로 t+2\displaystyle t + \sqrt{2}만큼 평행이동한 영역이다. 즉, C={(x,y)∣(x−t)2+(y−t−2)2≤1,t\displaystyle C = \left\{ ( x , y ) | ( x - t ) ^{2} + ( y - t - \sqrt{2} ) ^{2} \leq 1 , t \right.는 실수}\} 따라서, A∩CA \cap C가 나타내는 영역의 넓이는 반지름의 길이가 11인 반원의 넓이이므로 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}이다.

y=x+2\displaystyle y = x + \sqrt{2}

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#부등식의 영역#평행이동

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