원과 직선 교점의 규칙

그림에서 점 $P _{n}$의 좌표는 $n = 4 k \text{또는} 4 k + 1$일 때, 직선 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x$위에 있고, $n = 4 k + 2 \text{또는} 4 k + 3$일 때, $x$축 위에 있다. (단, $k$는 정수) $25 = 4 \cdot 6 + 1$로 나타낼 수 있으므로, 점 $P _{25}$는 반지름이 $13$인 원과 직선 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x$와의 교점이다. 또한, $x$축의 양의 방향과 직선 $\displaystyle y = \frac{3}{4} x$가 이루는 예각을 $\theta$라 하면 점 $P _{25}$의 $x$좌표는 $13 \cos \theta$이다. (단, $\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{4}$) 따라서, $\displaystyle 13 \cos \theta = 13 \times \frac{4}{5} = \frac{52}{5}$이다.