미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 교점 좌표의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 직선 y=nxy = nx가 원 x2+(y−1)2=1x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1, 직선 y=2y = 2와 제1사분면에서 만나는 점을 각각 Sn(an,bn)\mathrm{S} \mathit{_{n}} ( a _{n} , b _{n} ), Tn(cn,dn)\mathrm{T} \mathit{_{n}} ( c _{n} , d _{n} )이라 하자.

극한값이 옳은 것을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. lim⁡n→∞bn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = 2 ㄴ. lim⁡n→∞cn−andn−bn=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{c _{n} - a _{n}}{d _{n} - b _{n}}} = 1 ㄷ. lim⁡n→∞cnn(dn−bn)=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{c _{n}}{n ( d _{n} - b _{n} )}} = 1

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한 이해하기 두 점 Sn,Tn\mathrm{S} \mathit{_{n}} , \mathrm{T} \mathit{_{n}}의 좌표를 자연수 nn에 대하여 나타내면 Sn(an,bn)=Sn(2nn2+1,2n2n2+1)\displaystyle {\mathrm{\mathrm{S}}} _{n} ( a _{n} , b _{n} ) = {\mathrm{\mathrm{S}}} _{n} \left( \frac{2 n}{n ^{2} + 1} , \frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 1} \right) Tn(cn,dn)=Tn(2n,2)\displaystyle {\mathrm{\mathrm{T}}} _{n} ( c _{n} , d _{n} ) = {\mathrm{\mathrm{T}}} _{n} \left( \frac{2}{n} , 2 \right)이다. ㄱ. lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞2n2n2+1=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 1}} = 2 (참) ㄴ. lim⁡n→∞cn−andn−bn=lim⁡n→∞2n−2nn2+12−2n2n2+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{c _{n} - a _{n}}{d _{n} - b _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{2 n}{n ^{2} + 1}}{2 - \frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 1}}=lim⁡n→∞1n=0\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n}} = 0(거짓) ㄷ. lim⁡n→∞cnn(dn−bn)=lim⁡n→∞2nn(2−2n2n2+1)=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{c _{n}}{n ( d _{n} - b _{n} )}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{2}{n}}{n \left( 2 - \frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 1} \right)}} = 1 (참)

태그

#수열의 극한#원과 직선#보기

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