원과 직선 교점 집합

[출제의도] 원의 방정식을 활용하여 문제 해결하기 세 원 $\left( x + 2 \right) ^{2} + \left( y + 1 \right) ^{2} = 1$, $\left( x - a - 1 \right) ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} = a ^{2}$, $\left( x - b - 1 \right) ^{2} + \left( y - b \right) ^{2} = b ^{2}$ 을 차례로 $O _{1} , O _{2} , O _{3}$이라 하자. 집합 $A , B , C$는 좌표평면에서 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$가 세 원 $O _{1} , O _{2} , O _{3}$과 각각 만나는 점의 집합이다. 원 $O _{1}$의 중심 $\left( - 2 , - 1 \right)$과 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{\left| - 8 + 3 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}} = 1$이고 원 $O _{1}$의 반지름의 길이가 $1$이므로 원 $O _{1}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$는 한 점에서 만난다. 그러므로 $n \left( A \right) = 1$ 세 원 $O _{1} , O _{2} , O _{3}$은 모두 $x$축에 접하고 원 $O _{1}$의 중심은 제$3$사분면, 두 원 $O _{2} , O _{3}$의 중심은 제$1$사분면 위에 있으므로 원 $O _{1}$은 두 원 $O _{2} , O _{3}$과 만나지 않는다. 그러므로 $A \cap \left( B \cup C \right) = \emptyset$ $n \left( A \right) = 1$, $A \cap \left( B \cup C \right) = \emptyset$이므로 $n \left( A \cup B \cup C \right) = 3$이려면 $n \left( B \cup C \right) = 2$ $\cdots$㉠ 두 원 $O _{2} , O _{3}$의 중심 $\left( a + 1 , a \right) , \left( b + 1 , b \right)$는 모두 직선 $y = x - 1$ 위의 점이다. 직선 $y = x - 1$ 위의 점 $\left( k + 1 , k \right) \left( k \geq 1 \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $k$인 원에 대하여 원의 중심 $\left( k + 1 , k \right)$와 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 4 k + 4 - 3 k \right|}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{k + 4}{5}$ 이므로 점 $\left( k + 1 , k \right) \left( k \geq 1 \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $k$인 원과 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$는 $k = 1$이면 $\displaystyle k = \frac{k + 4}{5}$이므로 서로 접하고 $k > 1$이면 $\displaystyle k > \frac{k + 4}{5}$이므로 서로 다른 두 점에서 만난다. $1 \leq a < b$에서 $a \geq 1$이므로 $n \left( B \right) \geq 1$ $b > 1$이므로 $n \left( C \right) = 2$ $\cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $B \subset C$이고 $a \ne b$이면 $B \ne C$이므로 $n \left( B \right) < n \left( C \right) = 2$ $1 \leq n \left( B \right) < 2$에서 $n \left( B \right) = 1$이므로 원 $O _{2}$와 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$는 서로 접하고 $a = 1$이다. $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 1$에 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$를 대입하면 $\displaystyle \left( x - 2 \right) ^{2} + \left( \frac{4}{3} x - 1 \right) ^{2} = 1$ $\displaystyle \frac{25}{9} x ^{2} - \frac{20}{3} x + 4 = \left( \frac{5}{3} x - 2 \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle x = \frac{6}{5} , y = \frac{8}{5}$이므로 $\displaystyle B = \left\{ \left( \frac{6}{5} , \frac{8}{5} \right) \right\}$ $B \subset C$이므로 $\displaystyle \left( \frac{6}{5} , \frac{8}{5} \right) \in C$ 점 $\displaystyle \left( \frac{6}{5} , \frac{8}{5} \right)$이 원 $O _{3}$ 위의 점이어야 하므로 세 원 $O _{1} , O _{2} , O _{3}$과 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x$는 그림과 같다.

$\left( x - b - 1 \right) ^{2} + \left( y - b \right) ^{2} = b ^{2}$에 $\displaystyle x = \frac{6}{5} , y = \frac{8}{5}$을 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{6}{5} - b - 1 \right) ^{2} + \left( \frac{8}{5} - b \right) ^{2} = b ^{2}$ $\displaystyle b ^{2} - \frac{18}{5} b + \frac{13}{5}$$\displaystyle = \left( b - 1 \right) \left( b - \frac{13}{5} \right)$$= 0$ $b > a = 1$이므로 $\displaystyle b = \frac{13}{5}$ $a + b$$\displaystyle = 1 + \frac{13}{5}$$\displaystyle = \frac{18}{5}$