미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 교점 극한

문제

자연수 nn에 대하여 원 x2+y2=4n2x ^{2} + y ^{2} = 4 n ^{2}과 직선 y=n\displaystyle y = \sqrt{n}이 제11사분면에서 만나는 점의 xx좌표를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(2n−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 n - a _{n} \right)}의 값은? [4점] ①116\displaystyle \frac{1}{16}②18\displaystyle \frac{1}{8}③316\displaystyle \frac{3}{16}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤516\displaystyle \frac{5}{16}

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④

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 점 (an,n)\displaystyle \left( a _{n} , \sqrt{n} \right)이 원 x2+y2=4n2x ^{2} + y ^{2} = 4 n ^{2} 위의 점이므로 (an)2+(n)2=4n2\displaystyle \left( a _{n} \right) ^{2} + \left( \sqrt{n} \right) ^{2} = 4 n ^{2}이다. an>0a _{n} > 0이므로 an=4n2−n\displaystyle a _{n} = \sqrt{4 n ^{2} - n} 따라서 lim⁡n→∞(2n−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 n - a _{n} \right)}=lim⁡n→∞(2n−4n2−n)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 n - \sqrt{4 n ^{2} - n} \right)} =lim⁡n→∞n2n+4n2−n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n}{2 n + \sqrt{4 n ^{2} - n}}} =14\displaystyle = \frac{1}{4}

태그

#수열의 극한#무리식#원

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