미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 도형 급수

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}를 지나고 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3}인 직선 l1l _{1}과 점 A(0,4)\mathrm{A} ( 0 , 4 )가 있다. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 선분 OA\mathrm{O} A를 반지름으로 하는 원이 직선 l1l _{1}과 제1사분면에서 만나는 점을 O1\mathrm{O} _{1}이라 하자. 점 O1\mathrm{O} _{1}에서 xx축에 내린 수선의 발을 O2\mathrm{O} _{2}라 하자. 점 O2\mathrm{O} _{2}을 중심으로 하고 선분 O1O2\mathrm{O} _{1} \mathrm{O} _{2}를 반지름으로 하는 원이 선분 OO1\mathrm{O} O _{1}과 만나는 점을 A1\mathrm{A} _{1}이라 하자. 선분 A1O\mathrm{A} _{1} \mathrm{O}, 선분 OO2\mathrm{O} O _{2}, 호 O2A1\mathrm{O} _{2} \mathrm{A} _{1}로 둘러싸인 도형의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 점 O2\mathrm{O} _{2}를 중심으로 하고 선분 O1O2\mathrm{O} _{1} \mathrm{O} _{2}를 반지름으로 하는 원이 점 O2\mathrm{O} _{2}를 지나고 직선 l1l _{1}에 평행한 직선 l2l _{2}와 제1사분면에서 만나는 점을 O3\mathrm{O} _{3}이라 하자. 점 O3\mathrm{O} _{3}에서 xx축에 내린 수선의 발을 O4\mathrm{O} _{4}라 하자. 점 O3\mathrm{O} _{3}을 중심으로 하고 선분 O3O4\mathrm{O} _{3} \mathrm{O} _{4}를 반지름으로 하는 원이 선분 O2O3\mathrm{O} _{2} \mathrm{O} _{3}과 만나는 점을 A2\mathrm{A} _{2}이라 하자. 선분 A2O2\mathrm{A} _{2} \mathrm{O} _{2}, 선분 O2O4\mathrm{O} _{2} \mathrm{O} _{4}, 호 O4A2\mathrm{O} _{4} \mathrm{A} _{2}로 둘러싸인 도형의 넓이를 S2S _{2}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 도형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [3점]

①43−2π\displaystyle 4 \sqrt{3} - 2 \pi②83−4π\displaystyle 8 \sqrt{3} - 4 \pi③43−π\displaystyle 4 \sqrt{3} - \pi④83−2π\displaystyle 8 \sqrt{3} - 2 \pi⑤163−4π\displaystyle 16 \sqrt{3} - 4 \pi

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②

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해설

S1=△OO1O2−부채꼴A1O1O2S _{1} = \triangle OO _{1} O _{2} - \text{부채꼴} A _{1} O _{1} O _{2} =12×23×2−12×(23)2×π6=23−π\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2 - \frac{1}{2} \times ( 2 \sqrt{3} ) ^{2} \times \frac{\pi}{6} = 2 \sqrt{3} - \pi S2=△O2O3O4−부채꼴A2O3O4S _{2} = \triangle O _{2} O _{3} O _{4} - \text{부채꼴} A _{2} O _{3} O _{4} =12×3×3−12×9×π6=34(23−π)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4} ( 2 \sqrt{3} - \pi ) S3=△O4O5O6−부채꼴A3O5O6S _{3} = \triangle O _{4} O _{5} O _{6} - \text{부채꼴} A _{3} O _{5} O _{6} =12×332×32−12×(332)2×π6\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \times ( \frac{3 \sqrt{3}}{2} ) ^{2\times} \frac{\pi}{6} =(34)2(23−π)\displaystyle = ( \frac{3}{4} ) ^{2} ( 2 \sqrt{3} - \pi ) S1,S2,S3S _{1,} S _{2,} S _{3}에 의해서 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 23−π\displaystyle 2 \sqrt{3} - \pi이고 공비가 34\displaystyle \frac{3}{4}인 등비수열이므로 무한등비급수 ∑n=1∞Sn=23−π1−34=83−4π\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{2 \sqrt{3} - \pi}{1 - \frac{3}{4}} = 8 \sqrt{3} - 4 \pi

태그

#무한등비급수#도형의 닮음

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