미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 직사각형의 반복 도형 급수

문제

반지름의 길이가 11인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 3:13 : 1인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 22개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 44개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에서 색칠된 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①54π−53\displaystyle \frac{5}{4} \pi - \frac{5}{3}②54π−32\displaystyle \frac{5}{4} \pi - \frac{3}{2}③43π−85\displaystyle \frac{4}{3} \pi - \frac{8}{5}④54π−1\displaystyle \frac{5}{4} \pi - 1⑤43π−1615\displaystyle \frac{4}{3} \pi - \frac{16}{15}

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②

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해설

R1R _{1}의 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 6a6 a, 2a2 a라 하면 OA‾=a2+9a2=10a=1\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{\sqrt{a ^{2} + 9 a ^{2}}} = \sqrt{10} a = 1 ∴a=110\displaystyle \therefore a = \frac{1}{\sqrt{10}} RnR _{n}의 가장 작은 원의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 하면 r1=1r _{1} = 1, r2=110\displaystyle r _{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}, rn+1=110rn\displaystyle r _{n+1} = \frac{1}{\sqrt{10}} r _{n} 각 원에서 색칠된 부분의 넓이는 첫 항이 π−1210\displaystyle \pi - \frac{12}{10}, 공비가 110\displaystyle \frac{1}{10}인 등비수열이고, 개수는 11개, 22개, 44개, ⋯\cdots의 등비수열을 이루므로 Sn=(π−65)+2⋅110⋅(π−65)+22⋅110⋅(π−65)\displaystyle S _{n} = \left( \pi - \frac{6}{5} \right) + 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \left( \pi - \frac{6}{5} \right) + 2 ^{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \left( \pi - \frac{6}{5} \right) +⋯+2n−1110n−1⋅(π−65)\displaystyle + \cdots + 2 ^{n-1} \frac{1}{10 ^{n-1}} \cdot \left( \pi - \frac{6}{5} \right) lim⁡n→∞Sn=π−651−210=5π−64=54π−32\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\pi - \frac{6}{5}}{1 - \frac{2}{10}} = \frac{5 \pi - 6}{4} = \frac{5}{4} \pi - \frac{3}{2}

태그

#등비급수#도형의 닮음

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