미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직사각형 극한

문제

자연수 nn에 대하여 AB‾=2,AD‾=n\displaystyle {\overline{AB}} = 2 , {\overline{AD}} = n인 직사각형 ABCDABCD가 있다. 선분 CDCD의 중점을 EE라 할 때, 점 BB를 중심으로 하고 점 EE를 지나는 원이 선분 BDBD와 만나는 점을 FF라 하자. 선분 DFDF의 길이를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n a _{n}의 값은? [4점]

①32\displaystyle \frac{3}{2}②74\displaystyle \frac{7}{4}③2④94\displaystyle \frac{9}{4}⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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①

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해설

[출제의도] 이해능력-수열의 극한 BD‾=n2+4\displaystyle {\overline{BD}} = \sqrt{n ^{2} + 4}, BF‾=BE‾=n2+1\displaystyle {\overline{BF}} = {\overline{BE}} = \sqrt{n ^{2} + 1}이므로 an=BD‾−BF‾=n2+4−n2+1\displaystyle a _{n} = {\overline{BD}} - {\overline{BF}} = \sqrt{n ^{2} + 4} - \sqrt{n ^{2} + 1} 따라서 lim⁡n→∞nan=lim⁡n→∞n(n2+4)−n2+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n ( \sqrt{n ^{2} + 4 )} - \sqrt{n ^{2} + 1} ) =lim⁡n→∞3nn2+4+n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 n}{\sqrt{n ^{2} + 4} + \sqrt{n ^{2} + 1}} =lim⁡n→∞31+4n2+1+1n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{4}{n ^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}}} =31+1=32\displaystyle = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}

태그

#수열의 극한#도형#무리식

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