공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직각삼각형 역행렬

문제

그림과 같이 ∠B=90∘\mathrm{\angle} B = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 변 BC\mathrm{BC}를 지름으로 하는 원 O\mathrm{O}와 변 AC\mathrm{AC}의 교점 중 C\mathrm{C}가 아닌 점을 D\mathrm{D}라 할 때, AB‾=a,\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{a} , AD‾=b\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = b라 하자. 행렬 (abba)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}가 (abba)(2−3−32)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}을 만족시킬 때, BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}의 값은? [4점]

①32\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}②233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}③536\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{6}④3\displaystyle \sqrt{3}⑤736\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{6}

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②

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질을 이용한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. (abba)=(2−3−32)−1=(2332)\displaystyle {\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 2 \end{pmatrix}} ^{- 1} = \begin{pmatrix} 2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2 \end{pmatrix}이므로 AB‾=a=2\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}}} = a = 2, AD‾=b=3\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}}} = b = \sqrt{3}이다. 한편, AB‾2=AD‾×AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = \overline{AD} \times \overline{AC} 에서 AC‾=433\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}이다. 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 BC‾2=AC‾2−AB‾2=43\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AC}} ^{2} - {\overline{AB}} ^{2} = \frac{4}{3} ∴ BC‾=233\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

태그

#역행렬#원의 성질

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