미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직각삼각형 반복 도형

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 지름으로 하는 원 O1O _{1}이 있다. 원 O1O _{1}의 외부에 ∠B1A1C1\angle \mathrm{B} _{1} A _{1} C _{1}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}, A1B1‾:A1C1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} : {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}}=4:3= 4 : 3이 되도록 점 C1\mathrm{C} _{1}을 잡고 두 선분 A1C1,B1C1\mathrm{A} _{1} C _{1} , B _{1} C _{1}을 그린다. 원 O1O _{1}과 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}의 교점 중 B1\mathrm{B} _{1}이 아닌 점을 D1\mathrm{D} _{1}이라 하고, 점 D1\mathrm{D} _{1}을 포함하지 않는 호 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 두 선분 A1D1,B1D1\mathrm{A} _{1} D _{1} , B _{1} D _{1}로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 호 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}과 두 선분 A1C1,C1D1\mathrm{A} _{1} C _{1} , C _{1} D _{1}에 동시에 접하는 원 O2O _{2}를 그리고 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}과 원 O2O _{2}의 교점을 A2\mathrm{A} _{2}, 점 A2\mathrm{A} _{2}를 지나고 직선 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 평행한 직선이 원 O2O _{2}와 만나는 점 중 A2\mathrm{A} _{2}가 아닌 점을 B2\mathrm{B} _{2}라 하자. 그림 R1R _{1}에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 C2,D2\mathrm{C} _{2} , D _{2}를 잡고, 점 D2\mathrm{D} _{2}를 포함하지 않는 호 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}와 두 선분 A2D2,B2D2\mathrm{A} _{2} D _{2} , B _{2} D _{2}로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①3215π+256125\displaystyle \frac{32}{15} \pi + \frac{256}{125}②94π+5425\displaystyle \frac{9}{4} \pi + \frac{54}{25}③3215π+512125\displaystyle \frac{32}{15} \pi + \frac{512}{125}④94π+10825\displaystyle \frac{9}{4} \pi + \frac{108}{25}⑤83π+12825\displaystyle \frac{8}{3} \pi + \frac{128}{25}

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③

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

원 O1O _{1}의 반지름의 길이가 22이므로 반원의 넓이는 2π2 \pi 직각삼각형 C1A1B1\mathrm{C} _{1} A _{1} B _{1}에서 A1C1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}}=3= 3, A1B1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}}=4= 4이므로 B1C1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}}=32+42\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}=5= 5 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}은 원 O1O _{1}의 지름이므로 ∠A1D1B1\angle \mathrm{A} _{1} D _{1} B _{1}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2} 삼각형 C1A1B1\mathrm{C} _{1} A _{1} B _{1}에서 12×A1B1‾×A1C1‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} \times {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}}=12×B1C1‾×A1D1‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} \times {\overline{\mathrm{A} _{1} D _{1}}}이므로 A1D1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} D _{1}}}=125\displaystyle = \frac{12}{5} 직각삼각형 B1D1A1\mathrm{B} _{1} D _{1} A _{1}에서 B1D1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}}=42−(125)2\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} - \left( \frac{12}{5} \right) ^{2}}=165\displaystyle = \frac{16}{5} 삼각형 B1D1A1\mathrm{B} _{1} D _{1} A _{1}의 넓이는 12×125×165\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} \times \frac{16}{5}=9625\displaystyle = \frac{96}{25} 그러므로 S1S _{1}=2π+9625\displaystyle = 2 \pi + \frac{96}{25}이다. 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다.

두 원 OnO _{n}과 On+1O _{n + 1}의 중심을 각각 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}과 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}이라 하고 반지름의 길이를 각각 rnr _{n}과 rn+1r _{n + 1}이라 하자. 직선 An+1Bn+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}이 선분 BnCn\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}과 만나는 점을 En+1\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1}이라 하고, 원 On+1O _{n + 1}과 직선 BnCn\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}이 접하는 점을 Fn+1\mathrm{F} _{\mathit{n} + 1}이라 하자. An+1Cn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=an= a _{n}이라 하면 Fn+1Cn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=an= a _{n}이고 삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}과 삼각형 An+1En+1Cn\mathrm{A} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} \mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}은 서로 닮음이므로 An+1Cn‾:En+1Cn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=3:5= 3 : 5에서 En+1Cn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=53an\displaystyle = \frac{5}{3} a _{n}이고 En+1Fn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{F} _{\mathit{n} + 1}}}=En+1Cn‾−Fn+1Cn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=23an\displaystyle = \frac{2}{3} a _{n}이다. 삼각형 An+1En+1Cn\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}과 삼각형 Fn+1En+1On+1\mathrm{F} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}은 서로 닮음이므로 On+1Fn+1‾:En+1Fn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{F} _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{F} _{\mathit{n} + 1}}}=3:4= 3 : 4에서 ana _{n}=2rn+1= 2 r _{n + 1}이다. 점 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}에서 선분 AnOn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{O} _{\mathit{n}}에 내린 수선의 발을 Gn+1\mathrm{G} _{\mathit{n} + 1}이라 하면 On+1Gn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{G} _{\mathit{n} + 1}}}=AnCn‾−An+1Cn‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}=32rn−2rn+1\displaystyle = \frac{3}{2} r _{n} - 2 r _{n + 1} OnGn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} \mathrm{G} _{\mathit{n} + 1}}}=rn−rn+1= r _{n} - r _{n + 1}, OnOn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} \mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}}}=rn+rn+1= r _{n} + r _{n + 1}이므로 직각삼각형 OnGn+1On+1\mathrm{O} _{\mathit{n}} \mathrm{G} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}에서 (rn+rn+1)2\left( r _{n} + r _{n + 1} \right) ^{2}=(rn−rn+1)2+(32rn−2rn+1)2\displaystyle = \left( r _{n} - r _{n + 1} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} r _{n} - 2 r _{n + 1} \right) ^{2} 16rn+12−40rn+1rn+9rn216 r _{n + 1} ^{2} - 40 r _{n + 1} r _{n} + 9 r _{n} ^{2}=0= 0 (4rn+1−rn)(4rn+1−9rn)\left( 4 r _{n + 1} - r _{n} \right) \left( 4 r _{n + 1} - 9 r _{n} \right)=0= 0 rn>rn+1r _{n} > r _{n + 1}이므로 rn+1r _{n + 1}=14rn\displaystyle = \frac{1}{4} r _{n} 원 OnO _{n}과 원 On+1O _{n + 1}의 닮음비가 4:14 : 1이면 넓이의 비는 16:116 : 1이다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 2π+9625\displaystyle 2 \pi + \frac{96}{25}이고 공비가 116\displaystyle \frac{1}{16}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이므로 lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=2π+96251−116\displaystyle = \frac{\mathit{2 \pi + \frac{96}{25}}}{1 - \frac{1}{16}}=3215π+512125\displaystyle = \frac{32}{15} \pi + \frac{512}{125}

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#등비급수#도형의 닮음

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