미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직각이등변삼각형 탄젠트

문제

그림과 같이 BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}의 중점을 O\mathrm{O}, AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}를 지름으로 하는 원 O\mathrm{O}와 OC‾\displaystyle \mathrm{\overline{OC}}와의 교점을 D\mathrm{D}, BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}의 연장선과 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}의 교점을 E\mathrm{E}라 하자. ∠ABE=α\mathrm{\angle} ABE = \alpha라 할 때, tan⁡α\tan \alpha의 값은? [4점]

①−1+22\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}②−1+32\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}③−1+52\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}④−1+62\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{6}}{2}⑤−1+72\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{7}}{2}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 배각의 공식 활용하기 호 AD\mathrm{AD}에 대한 원주각이 α\alpha이므로 ∠AOD=2α\mathrm{\angle} AOD = 2 \alpha이다. AB‾=AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC}, OA‾=12AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \frac{1}{2} \overline{AB}이므로 tan⁡2α=AC‾OA‾=2\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{\mathrm{\overline{AC}}}{\mathrm{\overline{OA}}} = 2이다. tan⁡α=t\tan \alpha = t(t>0)\left( t > 0 \right)라 하면 tan⁡2α=2t1−t2=2\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 2이다. ∴t2+t+1=0\therefore t ^{2} + t + 1 = 0에서 tan⁡α=t=−1+52\displaystyle \tan \alpha = t = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

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#배각공식#원주각

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