원과 접선으로 만든 삼각형의 넓이

선분 $\mathrm{AC}$와 원이 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$가 지름이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{ABD} = \frac{\pi}{2}$이다. $\mathrm{\angle} CAB = \theta$라 하면 문제의 조건에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{3}$, $\displaystyle \cos \theta = \sqrt{1 - \sin ^{2} \theta} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 6$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{AD}} \sin \theta = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AD} \cos \theta = 4 \sqrt{2}$이다.

또한, $\displaystyle \mathrm{\angle} BDC = \frac{\pi}{2} + \theta$이고 접선과 현이 이루는 각은 현에 대한 원주각과 같으므로 $\mathrm{\angle} DBC = \theta$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{b}$라 놓고 △$\mathrm{BCD}$에서 사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \frac{a}{\sin \theta} = \frac{b}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)}$ ∴ $\displaystyle b = 2 \sqrt{2} a$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$∵ $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta$)$\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ ⋯⋯ ㉠ 또한 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \cdot \overline{BA} = {\overline{CB}} ^{2}$이므로 $a ( a + 6 ) = b ^{2}$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle a = \frac{6}{7}$ ∴ (△$\mathrm{ACB}$의 넓이)$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 6 + \frac{6}{7} \right) \cdot 4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3}$ $\displaystyle = \frac{32}{7} \sqrt{2}$