대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 접선 삼각비

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11 인 원 O\mathrm{O} 위에 두 점 A,B\mathrm{A} , B 가 있다. 점 A\mathrm{A} 에서의 접선이 OB‾\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} 의 연장선과 만나는 점을 P\mathrm{P}, 점 B\mathrm{B} 에서 OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} 에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q} 라 하고 ∠AOB=θ\mathrm{\angle} AOB = \theta 라 한다. OQ‾=2AP‾⋅BQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 2 \overline{AP} \cdot \overline{BQ} 가 성립할 때 cos⁡ecθ⋅sec⁡θ⋅cot⁡θ\cos ec \theta \cdot \sec \theta \cdot \cot \theta 의 값은?(단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [3점]

①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 관계식을 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 세 선분 OQ,AP,BQ\mathrm{OQ} , AP , BQ의 길이를 θ\theta로 나타내면 OQ‾=cos⁡θ,AP‾=tan⁡θ,BQ‾=sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = \cos \theta , \mathrm{\overline{AP}} = \tan \theta , \mathrm{\overline{BQ}} = \sin \theta OQ‾=2AP‾⋅BQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 2 \mathrm{\overline{AP}} \cdot \mathrm{\overline{BQ}}에서 cos⁡θ=2tan⁡θ⋅sin⁡θ\cos \theta = 2 \tan \theta \cdot \sin \theta ↔\leftrightarrowcos⁡2θ=2sin⁡2θ\cos ^{2} \theta = 2 \sin ^{2} \theta ↔\leftrightarrow cot⁡2θ=2\cot ^{2} \theta = 2 가 성립한다. ∴\therefore cos⁡ecθ⋅sec⁡θ⋅cot⁡θ\cos ec \theta \cdot \sec \theta \cdot \cot \theta=1sin⁡θ⋅1cos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\displaystyle = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} =1sin⁡2θ\displaystyle = \frac{1}{\sin ^{2} \theta}=cos⁡ec2θ= \cos ec ^{2} \theta=1+cot⁡2θ= 1 + \cot ^{2} \theta=1+2=3= 1 + 2 = 3

태그

#삼각비#삼각함수 사이 관계

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