미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 정사각형 급수

문제

반지름의 길이가 11인 원 O1\mathrm{O} _{1}이 있다. 원 O1\mathrm{O} _{1}과 O1\mathrm{O} _{1}에 내접하는 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 그림과 같이 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}, C1D1\mathrm{C} _{1} D _{1}, D1A1\mathrm{D} _{1} A _{1}, A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}의 각각의 중점 L1\mathrm{L} _{1}, M1\mathrm{M} _{1}, N1\mathrm{N} _{1}, K1\mathrm{K} _{1}에 대하여, 네 개의 선분 A1L1\mathrm{A} _{1} L _{1}, B1M1\mathrm{B} _{1} M _{1}, C1N1\mathrm{C} _{1} N _{1}, D1K1\mathrm{D} _{1} K _{1}의 교점을 꼭짓점으로 하는 사각형에 내접하는 원을 O2\mathrm{O} _{2}라 하자. O2\mathrm{O} _{2}와 원 O2\mathrm{O} _{2}에 내접하는 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}로 둘러싸인 넓이를 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 SnS _{n}에 대하여 ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①3(π−2)2\displaystyle \frac{3 ( \pi - 2 )}{2}②4(π−2)3\displaystyle \frac{4 ( \pi - 2 )}{3}③5(π−2)4\displaystyle \frac{5 ( \pi - 2 )}{4}④7(π−2)6\displaystyle \frac{7 ( \pi - 2 )}{6}⑤10(π−2)9\displaystyle \frac{10 ( \pi - 2 )}{9}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원 O1\mathrm{O} _{1}에 외접하는 정사각형의 한 변의 길이는 22이다. 원 O1\mathrm{O} _{1}에 내접하는 정사각형의 넓이는 22이다. 그림에서 삼각형의 넓이는 같으므로 원 O2\mathrm{O} _{2}에 외접하는 정사각형의 넓이는 원 O1\mathrm{O} _{1}에 내접하는 정사각형의 넓이는 15\displaystyle \frac{1}{5}이다. 원 O2\mathrm{O} _{2}에 외접하는 정사각형의 넓이는 25\displaystyle \frac{2}{5}이므로 한 변의 길이는 25\displaystyle \sqrt{\frac{2}{5}}이다. 길이의 비는 110\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}이므로 공비인 넓이의 비는 110\displaystyle \frac{1}{10}이다. 따라서 ∑n−1∞Sn=S11−110=10π−209\displaystyle \sum\limits _{n-1} ^{\infty} S _{n} = \frac{S _{1}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10 \pi - 20}{9}이다.

태그

#등비급수#도형 닮음

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