원과 활꼴 넓이

직선 $y = mx - m + 1 = m ( x - 1 ) + 1$은 $m$의 값에 관계없이 점 $( 1 , 1 )$을 지난다. 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표보다 크므로 $\mathrm{P} ( 1 , 1 )$ $S _{1} = S _{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{OQ}}}$ 삼각형 $\mathrm{PQO}$가 이등변삼각형이므로 선분 $\mathrm{OP}$의 수직이등분선은 점 $\mathrm{Q}$를 지난다. 선분 $\mathrm{OP}$를 수직이등분하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{1}{2} = - \left( x - \frac{1}{2} \right)$ 즉, $y = - x + 1$ $\cdots \text{㉠}$ $\text{㉠}$을 $x ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 1$에 대입하여 정리하면 $x ^{2} + ( - x + 1 - 1 ) ^{2} = 1$ 즉, $\displaystyle x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( - \frac{1}{\sqrt{2}} , 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} , 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ $m$은 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기이므로 $\displaystyle m = 1 - \sqrt{2}$ 또는 $\displaystyle m = 1 + \sqrt{2}$ 따라서 모든 실수 $m$의 값의 합은 $2$ 참고로 $\displaystyle m = 1 + \sqrt{2}$일 때의 그림은 아래와 같다.