원과 호 넓이의 급수

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$인 원 $\mathrm{O} _{1}$을 그리고, 원 $\mathrm{O} _{1}$이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 $\mathrm{A} _{1} ( 0 , 3 ) ,$ $\mathrm{B} _{1} ( - 3 , 0 ) ,$ $\mathrm{C} _{1} ( 0 , - 3 ) ,$ $\mathrm{D} _{1} ( 3 , 0 )$이라 하자. 두 점 $\mathrm{B} _{1} , D _{1}$을 모두 지나고 두 점 $\mathrm{A} _{1} , C _{1}$을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 $\mathrm{O} _{2}$의 내부에서 $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C} _{2} , A _{2}$라 하자. 호 $\mathrm{B} _{1} A _{1} D _{1}$과 호 $\mathrm{B} _{1} A _{2} D _{1}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S _{1}$, 호 $\mathrm{B} _{1} C _{1} D _{1}$과 호 $\mathrm{B} _{1} C _{2} D _{1}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T _{1}$이라 하자. 선분 $\mathrm{A} _{2} C _{2}$를 지름으로 하는 원 $\mathrm{O} _{2}$를 그리고, 원 $\mathrm{O} _{2}$가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{B} _{2} , D _{2}$라 하자. 두 점 $\mathrm{B} _{2} , D _{2}$를 모두 지나고 두 점 $\mathrm{A} _{2} , C _{2}$를 각각 중심으로 하는 두 원이 원　$\mathrm{O} _{2}$의 내부에서 $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C} _{3} , A _{3}$이라 하자. 호 $\mathrm{B} _{2} A _{2} D _{2}$와 호 $\mathrm{B} _{2} A _{3} D _{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S _{2}$, 호 $\mathrm{B} _{2} C _{2} D _{2}$와 호　$\mathrm{B} _{2} C _{3} D _{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 호 $\mathrm{B} \mathit{_{n}} \mathrm{A} \mathit{_{n}} \mathrm{D} \mathit{_{n}}$과 호 $\mathrm{B} \mathit{_{n}} \mathrm{A} \mathit{_{n + 1}} \mathrm{D} \mathit{_{n}}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S _{n}$, 호 $\mathrm{B} \mathit{_{n}} \mathrm{C} \mathit{_{n}} \mathrm{D} \mathit{_{n}}$과 호　$\mathrm{B} \mathit{_{n}} \mathrm{C} \mathit{_{n + 1}} \mathrm{D} \mathit{_{n}}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를　$T _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( S _{n} + T _{n} )$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 6 ( \sqrt{2} + 1 )$②$\displaystyle 6 ( \sqrt{3} + 1 )$③$\displaystyle 6 ( \sqrt{5} + 1 )$④$\displaystyle 9 ( \sqrt{2} + 1 )$⑤$\displaystyle 9 ( \sqrt{3} + 1 )$