원과 한 점에서 만나는 평면 법선

구의 방정식 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 4$에 $z = - 1$을 대입하면 $x ^{2} + y ^{2} = 3$이므로 원 $C$는 중심이 $( 0 , 0 , - 1 ) ,$ 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$이고 평면 $z = - 1$에 놓인 원이다. 이 때, $x$축을 포함하고 이 원과 오직 한 점에서 만나는 평면 $\alpha$는 두 점 $\displaystyle O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 0 , \sqrt{3} , - 1 )$ (또는 $\displaystyle ( 0 , - \sqrt{3} , 0 )$)을 지나야 한다. 따라서 평면 $\alpha$는 $x$축과 직선 $OA$ (또는 $OB$)를 포함한다. 이 때, $x$축의 방향벡터는 $\vec{x} = ( 1 , 0 , 0 )$이고 직선 $OA$의 방향벡터 (또는 직선 $OB$의 방향벡터)는 $\displaystyle \vec{a} = ( 0 , \sqrt{3} , - 1 )$ (또는 $\displaystyle \vec{b} = ( 0 , - \sqrt{3} , - 1 )$) 이므로 평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n}$은 벡터 $\vec{x}$와 벡터 $\vec{a}$ (또는 $\vec{b}$)와 각각 수직이어야 한다. 그런데 한 법선벡터가 $\vec{n} = ( a , 3 , b )$이므로 $\vec{n} \bullet \vec{x} = ( a , 3 , b ) \bullet ( 1 , 0 , 0 ) = 0$에서 $a = 0$이고, $\displaystyle \vec{n} \bullet \vec{a} = ( a , 3 , b ) \bullet ( 0 , \sqrt{3} , - 1 ) = 0$에서 $\displaystyle 3 \sqrt{3} - b = 0$ $\displaystyle \therefore b = 3 \sqrt{3}$ $\therefore a ^{2} + b ^{2} = 0 + 27 = 27$ [참고] $\displaystyle \vec{n} \bullet \vec{b} = ( a , 3 , b ) \bullet ( 0 , - \sqrt{3} , - 1 ) = 0$일 경우에도 $\displaystyle 3 \sqrt{3} + b = 0$이므로 $\displaystyle b = - 3 \sqrt{3}$이다. $\therefore a ^{2} + b ^{2} = 0 + 27 = 27$