미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 부채꼴 도형 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11인 원 O1O _{1}에 외접하는 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}의 네 변 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}, C1D1\mathrm{C} _{1} D _{1}, D1A1\mathrm{D} _{1} A _{1}의 중점을 각각 E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}, G1\mathrm{G} _{1}, H1\mathrm{H} _{1}이라 하자. 점 B1\mathrm{B} _{1}을 중심으로 하고 선분 B1F1\mathrm{B} _{1} F _{1}을 반지름으로 하는 부채꼴 B1F1E1\mathrm{B} _{1} F _{1} E _{1}의 호 E1F1\mathrm{E} _{1} F _{1}과 점 C1\mathrm{C} _{1}을 중심으로 하고 선분 C1F1\mathrm{C} _{1} F _{1}을 반지름으로 하는 부채꼴 C1F1G1\mathrm{C} _{1} F _{1} G _{1}의 호 G1F1\mathrm{G} _{1} F _{1}과 원 O1O _{1}의 호 E1H1G1\mathrm{E} _{1} H _{1} G _{1}로 둘러싸인 도형을 R1R _{1}이라 하자. R1R _{1}에 내접하는 원을 O2O _{2}라 하고 도형 R1R _{1}의 넓이에서 원 O2O _{2}의 넓이를 뺀 값을 S1\mathit{S} _{1}이라 하자. 원 O2O _{2}에 외접하는 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}의 네 변 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}, C2D2\mathrm{C} _{2} D _{2}, D2A2\mathrm{D} _{2} A _{2}의 중점을 각각 E2\mathrm{E} _{2}, F2\mathrm{F} _{2}, G2\mathrm{G} _{2}, H2\mathrm{H} _{2}라 하자. 점 B2\mathrm{B} _{2}를 중심으로 하고 선분 B2F2\mathrm{B} _{2} F _{2}를 반지름으로 하는 부채꼴 B2F2E2\mathrm{B} _{2} F _{2} E _{2}의 호 E2F2\mathrm{E} _{2} F _{2}와 점 C2\mathrm{C} _{2}를 중심으로 하고 선분 C2F2\mathrm{C} _{2} F _{2}를 반지름으로 하는 부채꼴 C2F2G2\mathrm{C} _{2} F _{2} G _{2}의 호 G2F2\mathrm{G} _{2} F _{2}와 원 O2O _{2}의 호 E2H2G2\mathrm{E} _{2} H _{2} G _{2}로 둘러싸인 도형을 R2R _{2}라 하자. R2R _{2}에 내접하는 원을 O3O _{3}이라 하고 도형 R2R _{2}의 넓이에서 원 O3O _{3}의 넓이를 뺀 값을 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 호 EnFn\mathrm{E} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}, 호 GnFn\mathrm{G} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}, 호 EnHnGn\mathrm{E} _{\mathit{n}} H _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}}으로 둘러싸인 도형을 RnR _{\mathit{n}}이라 하고 RnR _{\mathit{n}}에 내접하는 원을 On+1O _{\mathit{n} + 1}이라 하자. 도형 RnR _{\mathit{n}}의 넓이에서 원 On+1O _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 뺀 값을 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \mathit{S} _{\mathit{n}}의 값은? [4점]

①9−2π3\displaystyle \frac{9 - 2 \pi}{3}②18−4π5\displaystyle \frac{18 - 4 \pi}{5}③9−2π2\displaystyle \frac{9 - 2 \pi}{2}④18−4π3\displaystyle \frac{18 - 4 \pi}{3}⑤9−2π{9 - 2 \pi}

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②

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

원 On+1O _{\mathit{n} + 1}의 중심을 In+1\mathrm{I} _{\mathit{n} + 1}이라 하고 반지름의 길이를 rn+1r _{n + 1}이라 하면 직각삼각형 In+1BnFn\mathrm{I} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}에서 피타고라스의 정리에 의해 (rn+rn+1)2=(2rn−rn+1)2+rn2\left( r _{n} + r _{n + 1} \right) ^{2} = \left( 2 r _{n} - r _{n + 1} \right) ^{2} + r _{n} ^{2} 2rnrn+1=4rn2−4rnrn+12 r _{n} r _{n + 1} = 4 r _{n} ^{2} - 4 r _{n} r _{n + 1} rn+1rn=23\displaystyle \frac{r _{n + 1}}{r _{n}} = \frac{2}{3}이므로 Sn+1Sn=49\displaystyle \frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = \frac{4}{9} r2r1=23\displaystyle \frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{2}{3}이므로 S1=4−(2+(23)2π)=2−49π\displaystyle S _{1} = 4 - \left( 2 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \pi \right) = 2 - \frac{4}{9} \pi ∴\therefore {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 2−49π\displaystyle 2 - \frac{4}{9} \pi, 공비가 49\displaystyle \frac{4}{9}인 무한등비수열이다. 따라서 ∑n=1∞Sn=2−49π1−49=18−4π5\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{\mathit{n}} = \frac{2 - \frac{4}{9} \pi}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{18 - 4 \pi}{5}

태그

#무한등비급수#도형의 넓이

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