대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 배각

문제

지름 ABAB의 길이가 1010인 원이 있다. 원 위의 점 P,QP , Q에 대하여 AP‾=8\displaystyle \overline{AP} = 8이고 ∠QAB=2∠PAB\angle QAB = 2 \angle PAB이다. 선분 AQ‾\displaystyle \overline{AQ}의 길이는? [3점]

①105\displaystyle \frac{10}{5}②115\displaystyle \frac{11}{5}③125\displaystyle \frac{12}{5}④135\displaystyle \frac{13}{5}⑤145\displaystyle \frac{14}{5}

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⑤

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해설

∠PAB=θ\angle PAB = \theta라 하면∠QAB=2θ\angle QAB = 2 \theta △ABP\triangle ABP에서 ∠APB=90∘\angle APB = 90 ^\circ이므로 cos⁡θ=810=45\displaystyle \cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2 \theta = 2 \cos ^{2} \theta - 1=725\displaystyle = \frac{7}{25} △AQB\triangle AQB에서 ∠AQB=90∘\angle AQB = 90 ^\circ AQ‾=AB‾cos⁡2θ\displaystyle \overline{AQ} = \overline{AB} \cos 2 \theta=10×725\displaystyle = 10 \times \frac{7}{25}=145\displaystyle = \frac{14}{5}

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#배각공식#원주각

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