기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원기둥과 삼수선 정리

문제

밑면의 반지름의 길이가 3\mathrm{3}, 높이가 3\mathrm{3}인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 한 밑면의 둘레 위의 한 점 P\mathrm{P}에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 P′\mathrm{P} \mathit{'}이라 하고, 점 P\mathrm{P}를 포함하는 밑면의 중심을 O\mathrm{O}라 하자. 점 P′\mathrm{P} \mathit{'}을 포함하는 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에 대하여 점 O\mathrm{O}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. BP′‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{BP} \mathit{'}}} = 6, OH‾=13\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = \sqrt{13}일 때, 삼각형 PAH\mathrm{PAH}의 넓이는? [3점] ①5\displaystyle \sqrt{5}②352\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{2}③25\displaystyle 2 \sqrt{5}④552\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}⑤35\displaystyle 3 \sqrt{5}

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④

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해설

BP′‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{BP} \mathit{'}}} = 6이므로 선분 BP′\mathrm{BP} \mathit{'}은 점 P′\mathrm{P} \mathit{'}을 포함하는 밑면의 지름이다. 선분 BP′\mathrm{BP} \mathit{'}의 중점을 O′\mathrm{O} \mathit{'}, 직선 OO′\mathrm{OO} \mathit{'}에 수직이고 점 O′\mathrm{O} \mathit{'}을 포함하는 평면을 α\alpha라 하면,

OO′‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{OO} \mathit{'}}} \perp \alpha, OH‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 O′H‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{H}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}} O′H‾=OH‾2−OO′‾2=13−9=2\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{H}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{OH}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OO} \mathit{'}}} ^{2}} = \sqrt{13 - 9} = 2 BH‾=BO‾2−O′H‾2=9−4=5\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{BO}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{H}}} ^{2}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} 점 A\mathrm{A}가 선분 BP′\mathrm{BP} \mathit{'}을 지름으로 하는 원 위의 점이므로 P′A‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{A}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}} 두 삼각형 BHO′\mathrm{BHO} \mathit{'}, BAP′\mathrm{BAP} \mathit{'}은 서로 닮음이고 닮음비가 1:21 : 2이므로 P′A‾=2O′H‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{A}}} = 2 {\overline{\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{H}}} = 4 PA‾=P′A‾2+PP′‾2=16+9=5\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{A}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{PP} \mathit{'}}} ^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5 AH‾=BH‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{5} PP′‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{PP} \mathit{'}}} \perp \alpha, P′A‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{A}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 PA‾⊥AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}} 따라서 삼각형 PAH\mathrm{PAH}의 넓이는 12×PA‾×AH‾=12×5×5=552\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PA}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{5} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}

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#삼수선의 정리#원기둥

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