기하공간도형과 공간좌표수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원기둥·원뿔·구의 위치

문제

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 77인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 55이고 높이가 1212인 원뿔이 평면 α\alpha위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 α\alpha와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 O\mathrm{O}, 원뿔의 꼭짓점을 A\mathrm{A}라 하자. 중심이 B\mathrm{B}이고 반지름의 길이가 44인 구 SS가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구 S\mathrm{S}는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}의 평면 α\alpha 위로의 정사영이 각각 A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}'일 때, ∠A′OB′=180∘\mathrm{\angle} A' OB' = 180 ^\circ이다.

직선 AB\mathrm{AB}와 평면 α\alpha가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, tan⁡θ=p\tan \theta = p이다. 100p100 p의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′\mathrm{A}'은 일치한다.) [4점]

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해설

조건 (나)에서 구와 원기둥의 접점 F\mathrm{F}, 원뿔과 원기둥의 접점 D\mathrm{D}, A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 한 평면 위에 있다. 또, 2×7−2×5=42 \times 7 - 2 \times 5 = 4에서, B\mathrm{B}에서 α\alpha에 내린 수선의 발은 원기둥의 밑면 원주 위에 있다. A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, D\mathrm{D}를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면, cos⁡α=513\displaystyle \cos \alpha = \frac{5}{13}이므로 BC‾=4cos⁡α=525\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \frac{4}{\cos \alpha} = \frac{52}{5} ∴tan⁡θ=BH‾AH‾\displaystyle \therefore \tan \theta = \frac{\mathrm{\overline{BH}}}{\overline{AH}} =12−5255\displaystyle = \frac{12 - \frac{52}{5}}{5}=855=825\displaystyle = \frac{\frac{8}{5}}{5} = \frac{8}{25} ∴100tan⁡θ=32\therefore 100 \tan \theta = 32

태그

#공간도형#정사영#접하는 구

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