기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원기둥 속 선분

문제

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 4\mathrm{4}, 높이가 3\mathrm{3}인 원기둥이 있다. 선분 AB{\mathrm{AB}}는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고 C{\mathrm{C}}, D{\mathrm{D}}는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다. 네 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}, D{\mathrm{D}}가 다음 조건을 만족시킬 때, 선분 CD{\mathrm{CD}}의 길이는? [3점]

(가) 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 넓이는 16\mathrm{16}이다. (나) 두 직선 AB{\mathrm{AB}}, CD{\mathrm{CD}}는 서로 평행하다.

①5\mathrm{5}②112\displaystyle \frac{11}{2}③6\mathrm{6}④132\displaystyle \frac{13}{2}⑤7\mathrm{7}

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③

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해설

두 점 C,D\mathrm{C} , D에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 각각 C′\mathrm{C}', D′\mathrm{D}'이라 하고, 점 C′\mathrm{C}'에서 선분 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 CH‾⊥AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} \perp \overline{AB}이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이는 1616이므로 12×AB‾×CH‾=16\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{AB}} \times {\overline{CH}} = 16 에서 CH‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = 4 C′H‾=CH‾2−CC′‾2=7\displaystyle \mathrm{\overline{C' H}} = \sqrt{{\overline{CH}} ^{2} - {\overline{CC'}} ^{2}} = \sqrt{7}

원의 중심을 OO라 하면 OH‾=OC′‾2−C′H‾2=3\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sqrt{{\overline{OC'}} ^{2} - {\overline{C' H}} ^{2}} = 3 ∴CD‾=C′D′‾=2OH‾=6\displaystyle \mathrm{\therefore} {\overline{CD}} = {\overline{C' D'}} = 2 {\overline{OH}} = 6

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#원기둥#공간도형

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