원기둥 삼각형 정사영

[출제의도] 정사영을 이용하여 수학외적 문제해결하기

원기둥의 밑면 $\alpha$, $\beta$의 중심을 각각 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \parallel {\overline{DB}}$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{SM}} \parallel {\overline{RG}}$이므로 평면 $\mathrm{MPQ}$와 평면 $\mathrm{GDB}$는 평행하다. 삼각형 $\mathrm{GDB}$와 삼각형 $\mathrm{D} EG$는 모두 정삼각형이고 두 삼각형이 만나서 생기는 선분은 $\displaystyle \mathrm{\overline{DG}}$이다. 선분 $\mathrm{{DG}}$의 중점을 $\mathrm{M}'$이라 하고 $\theta = \mathrm{\angle} BM' E$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM'}} = {\overline{EM'}} = 2 \sqrt{6}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 4 \sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{BM}' E$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned} \cos \theta & = \cos ( \mathrm{\angle} BM' E ) = \frac{24 + 24 - 32}{2 \cdot 2 \sqrt{6} \cdot 2 \sqrt{6}} = \frac{1}{3} \end{aligned}$ 삼각형 $\mathrm{MPQ}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}}{2} = 2 \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{MPQ}$의 평면 $\mathrm{D} EG$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle S \cos \theta = 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $a = 3$, $b = 2$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 13$