기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원기둥 밑면의 정사영

문제

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 높이는 88이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 z=10z = 10과 오직 한 점 (0,0,10)( 0 , 0 , 10 )에서 만난다.

이 원기둥의 한 밑면의 평면 z=10z = 10 위로의 정사영의 넓이는? [4점] ①1395π\displaystyle \frac{139}{5} \pi②1445π\displaystyle \frac{144}{5} \pi③1495π\displaystyle \frac{149}{5} \pi④1545π\displaystyle \frac{154}{5} \pi⑤1595π\displaystyle \frac{159}{5} \pi

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②

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해설

θ\theta θ\theta

그림의 직각삼각형 ABO에서 OA‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = 10, AB‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8 이므로 OB‾=102−82=6\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{10 ^{2} - 8 ^{2}} = 6 원기둥의 한 밑면과 평면 z=10z = 10이 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 각 OAB의 크기도 θ\theta이므로 cos⁡θ=810=45\displaystyle \cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} 이때, 원기둥의 한 밑면의 넓이를 SS, 이 밑면의 평면 z=10z = 10 위로의 정사영의 넓이를 S′S'이라 하면 S=π×62=36πS = \pi \times 6 ^{2} = 36 \pi S′=S×cos⁡θS' = S \times \cos \theta =36π×45\displaystyle = 36 \pi \times \frac{4}{5} =1445π\displaystyle = \frac{144}{5} \pi

태그

#정사영#원기둥

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