기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원기둥 단면 넓이

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 44인 정육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH의 내부에 밑면의 반지름의 길이가 11인 원기둥이 있다. 원기둥의 밑면의 중심은 두 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD, EFGH\mathrm{E} FGH의 두 대각선의 교점과 각각 일치한다.

이 원기둥이 세 점 A,F,H\mathrm{A} , F , H를 지나는 평면에 의하여 잘린 단면의 넓이는? [4점] ①332π\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2} \pi②2π\displaystyle \sqrt{2} \pi③32π\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \pi④63π\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} \pi⑤22π\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \pi

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③

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해설

평면 AFH\mathrm{AFH}와 평면 EFGH\mathrm{EFGH}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 △AFHcos⁡θ=△EFH\triangle \mathrm{AFH} \cos \theta = \triangle \mathrm{EFH}이다. 34(42)2cos⁡θ=12⋅42\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} ( 4 \sqrt{2} ) ^{2} \cos \theta = \frac{1}{2} \cdot 4 ^{2} ∴ cos⁡θ=13\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} 이때, 구하는 넓이를 SS, 반원의 넓이를 S′S'이라 하면 S=S′cos⁡θ=32π\displaystyle S = \frac{S'}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi

태그

#정사영#이면각

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