공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원으로 산술기하 증명

문제

다음은 원을 이용하여 부등식을 증명하는 과정이다. [증명] 중심이 O\mathrm{O}이고 점P\mathrm{P}가 원 위의 임의의 점일 때, AQ‾=a\displaystyle {\mathrm{\overline{AQ}}} = a , QB‾=b\displaystyle {\mathrm{\overline{QB}}} = b라 하면 OP‾=\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = (가) 이다. 그리고 OQ‾=\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = (나) 이므로 직각삼각형OPQ\mathrm{OPQ}에서 PQ‾=\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = (다)

OP‾≥PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \geq \mathrm{\overline{PQ}} 따라서 (가) ≥\geq (다) 이다. (단, 등호는 a=ba = b 일 때 성립)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [44점]

(가)(나)(다)
①a+ba + ba−ba - babab
②a+ba + ba−b2\displaystyle \frac{a - b}{2}ab\displaystyle \sqrt{ab}
③a+b2\displaystyle \frac{a + b}{2}a−ba - bab\displaystyle \sqrt{ab}
④a+b2\displaystyle \frac{a + b}{2}a−b2\displaystyle \frac{a - b}{2}ab\displaystyle \sqrt{ab}
⑤a+b2\displaystyle \frac{a + b}{2}a−b2\displaystyle \frac{a - b}{2}abab
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④

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해설

지름이 a+ba + b이므로 OP‾=a+b2\displaystyle {\mathrm{\overline{OP}}} = \frac{a + b}{2} OQ‾=a+b2−b=a−b2\displaystyle {\mathrm{\overline{OQ}}} = \frac{a + b}{2} - b = \frac{a - b}{2} 직각삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에서 PQ‾=(a+b2)2−(a−b2)2=ab\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}}} = \sqrt{\left( \frac{a + b}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{a - b}{2} \right) ^{2}} = \sqrt{ab} 따라서 OP‾≥PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} \geq \mathrm{\overline{PQ}} 이므로 a+b2≥ab\displaystyle \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} (단, 등호는a=ba = b일 때 성립)

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#절대부등식#빈칸채우기

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