미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)원을 도는 사각형 넓이 극한광고 영역 (상세 상단)문제좌표평면 위의 네 점 An(n,0),Bn(2n,n),Cn(n,2n),Dn(0,n)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , 0 \right) , \mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( 2 \mathit{n} , n \right) , \mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , 2 n \right) , \mathrm{D} _{\mathit{n}} \left( 0 , \mathit{n} \right)An(n,0),Bn(2n,n),Cn(n,2n),Dn(0,n)을 연결한 사각형과 원x2+y2=12n2\displaystyle \mathrm{\mathit{x}} ^{2} + y ^{2} = \frac{1}{2} n ^{2}x2+y2=21n2이 있다. 그림과 같이 사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}AnBnCnDn이 변 AnDn‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}}AnDn의 중점에서 원에 접하며 원을 따라 한 바퀴 움직일 때, 사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}AnBnCnDn이 지나간 부분의 넓이를 ana _{n}an이라 하자. 이 때, limn→∞10πn3∑k=1nak\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10}{\pi n ^{3}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}}n→∞limπn310k=1∑nak의 값을 구하시오. [4점]정답 보기15자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설[출제의도] 도형을 이용하여 수학내적 문제해결하기 원점에서 점 (n,2n)\left( n , 2 n \right)(n,2n)까지의 거리는 5n\displaystyle \sqrt{5} n5n이므로 사각형이 지나간 부분은 그림과 같다.an=5n2π−12n2π=92n2π\displaystyle a _{n} = 5 n ^{2} \pi - \frac{1}{2} n ^{2} \pi = \frac{9}{2} n ^{2} \pian=5n2π−21n2π=29n2π ∑k=1nak=92π×n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{9}{2} \pi \times \frac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6}k=1∑nak=29π×6n(n+1)(2n+1) limn→∞10πn3∑k=1nak=limn→∞10πn39πn(n+1)(2n+1)12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10}{\pi n ^{3}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10}{\pi n ^{3}} \frac{9 \pi n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{12}}}n→∞limπn310k=1∑nak=n→∞limπn310129πn(n+1)(2n+1) =15= 15=15태그#수열의 극한#시그마#넓이비슷한 문제 더 보기미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로
