원을 보존하는 일차변환

원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 모든 점을 같은 원 위의 점으로 옮기는 일차변환은 회전변환, 대칭변환을 생각할 수 있다. (ⅰ) 회전변환 $\theta$만큼 회전시키는 변환을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {\cos \theta} & {- \sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta} \end{pmatrix}$이고, 각 성분이 정수이려면 $\cos \theta$ 또는 $\sin \theta$의 값이 $- 1$ 또는 $0$ 또는 $1$이어야 한다. $\displaystyle \therefore \theta = 0 , \frac{\pi}{2} , \pi , \frac{3}{2} \pi$ (ⅱ) 대칭변환 $x$축 대칭을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix}$ $y$축 대칭을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {- 1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}$ 원점대칭을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {- 1} & {0} \\ {0} & {- 1} \end{pmatrix}$ 직선 $y = x$에 대한 대칭을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{pmatrix}$ 직선 $y = - x$에 대한 대칭을 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {- 1} \\ {- 1} & {0} \end{pmatrix}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 원점대칭을 나타내는 행렬과 $\theta = \pi$일 때의 회전변환을 나타내는 행렬은 서로 같으므로 구하는 일차변환의 개수는 $8$이다.