공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접하는 두 정삼각형

문제

그림은 화가 라파엘로의 벽화 ‘아테네 학당’의 일부이다.

은호는 수학자 유클리드가 컴퍼스를 이용하여 도형을 작도하고 있는 칠판을 보고, 반지름의 길이가 55 인 원 O\mathrm{O} 에 내접하는 정삼각형 ABC\mathrm{ABC} 와 정삼각형 PQR\mathrm{PQR} 을 이용하여 다음과 같은 도형을 만들었다.

어두운 부분의 넓이의 최솟값을 구하기 위하여 정삼각형 PQR\mathrm{PQR}을 원 O\mathrm{O} 에 내접하면서 움직였더니, 어두운 부분의 넓이의 최솟값이 aπ−b3\displaystyle a \pi - b \sqrt{3} 이었다. 이때, a+ba + b 의 값을 구하시오. (단, a,ba , b 는 유리수) [4점]

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50

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해설

[출제의도] 부등식의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

삼각형 PA′C′\mathrm{PA}' C'의 넓이가 최대가 될 때, 어두운 부분의 넓이가 최소가 된다. 삼각형 PA′C′\mathrm{PA}' C'에서 PA′‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{PA}'} = x, PC′‾=y\displaystyle \overline{\mathrm{PC}'} = y 라 하면 △PA′C′=12y×xsin⁡60∘=34xy\displaystyle \triangle \mathrm{PA}' C' = \frac{1}{2} \mathit{y} \times \mathit{\mathit{x}} \sin 60 ^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} \mathit{xy} 이고 산술기하평균 x+y2≥xy\displaystyle \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}에서 x=yx = y 일 때, 삼각형 PA′C′\mathrm{PA}' C'의 넓이가 최대가 된다. 따라서 점 P,Q,R\mathrm{P} , Q , R은 호 ⌢CA,⌢AB,⌢BC\mathrm{\frown} {CA} , \frown {AB} , \frown {BC}의 중점이 된다. (어두운 부분의 넓이)==(원의 넓이)−12△PA′C′\mathrm{-} 12 \triangle PA' C' =25π−12×25312\displaystyle = 25 \pi - 12 \times \frac{25 \sqrt{3}}{12} =25π−253\displaystyle = 25 \pi - 25 \sqrt{3} a=25,b=25a = 25 , b = 25이므로 a+b=50a + b = 50

태그

#정삼각형#원#넓이 최소

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